通过示例了解切比雪夫不等式

在本文中，我们将讨论Chebyshev不等式算法的概述，并通过示例介绍了解Chebyshev不等式。前提条件是转到下面的链接以了解马尔可夫定理，以在契比雪夫不等式背后获得更深入的数学见解，这就是证明。让我们一一讨论。

先决条件–通过示例理解马尔可夫定理

切比雪夫不等式：
它基于方差的概念。它说，给定一个随机变量R，则∀x> 0，随机变量R在任一侧偏离其期望值至少x的概率如下。

$P(|R - Ex(R)|>=X) < = Var(R)/X*X$ //方程-1

其中代表以下值，如下所示。

Var(R) - It denotes variance of Random Variable R.
Ex(R)  - It denotes the Expected value of Random Variable R.

证明 ：
我们知道马尔可夫概率的不等式如下。

$P(R>=X) <= Ex(R)/X$ //等式-2

在此放置R – Ex(R)代替R并将其平方，然后应用马尔可夫不等式，我们得到以下表达式。

$P(|R-Ex(R)|>=X) = P(|R-Ex(R)| * |R-Ex(R) |> = X*X)$ //方程-3

$P(|R-Ex(R)| * |R-Ex(R)| > = X*X) <= Ex(R-Ex(R) * R-Ex(R)) / X*X$ //等式-4

我们也知道下面的表达式，并借助它我们可以求值。

$Var(R) = Ex((R-Ex(R))* |(R-Ex(R)))$

现在，将其放在第四方程式中，并用第三方程式的LHS代替第四方程式的LHS，我们得到切比雪夫不等式如下。

结果 ：

$P(|R - Ex(R)| >=X) <= Var(R)/X*X$

切比雪夫不等式的推论：
如果用c * Var(R)替换X，其中c> 0，那么我们得到以下等式，可以很容易地证明如下。

$P(|R -Ex(R)| >= c*Var(R))<= 1/c*c$

切比雪夫不等式的例子：
让我们借助一个示例来理解该概念，以便更好地理解如下。

示例1：
我们说随机变量R =随机人的智商。一个人的平均智商为100，即Ex(R)=100。R中的方差为15。(假设R> 0)。那么，如果我们选择一个随机的人，他/她的智商至少为250，该概率是多少?

解决方案 –
为了解决这个问题，我们将使用切比雪夫不等式的推论如下。

P(R>=250) = P( R-100 >=150 ),

与推论相比，我们可以说以下结果如下。

since 150 = 10* Variance
so, c = 10.

因此，答案的上限为1/100，即≤1％。

示例2：
如果在不使用方差的情况下使用马尔可夫定理解决相同的问题，则得到的上限如下。

P ( R >= 250 ) < = Ex(R) / 250
= 100/250 = 2/5 = 40%.

因此，同一问题的上限是马尔可夫不等式的40％和切比雪夫不等式的1％。因此，如果我们知道随机变量R的方差，我们可以说切比雪夫不等式与马尔可夫方程相比在概率上有更好的界限。