用例子理解切比雪夫不等式

在本文中，我们将讨论切比雪夫不等式算法的概述，并将通过一个示例介绍理解切比雪夫不等式。先决条件是转到下面给出的链接以了解马尔可夫定理，以获得更深入的切比雪夫不等式背后的数学见解，这是证明。让我们一一讨论。

先决条件——通过例子理解马尔可夫定理

切比雪夫不等式：
它基于方差的概念。它说给定一个随机变量 R，则 ∀ x > 0，随机变量 R 在任一侧偏离其期望值至少 x 的概率如下给出。

$P(|R - Ex(R)|>=X) < = Var(R)/X*X$ //等式-1

其中它代表以下值如下。

Var(R) - It denotes variance of Random Variable R.
Ex(R)  - It denotes the Expected value of Random Variable R.

证明 ：
我们知道马尔科夫概率不等式如下。

$P(R>=X) <= Ex(R)/X$ //等式-2

将 : R – Ex(R) 代替 R 中的 R 并将其平方，然后应用马尔可夫不等式，我们得到以下表达式如下。

$P(|R-Ex(R)|>=X) = P(|R-Ex(R)| * |R-Ex(R) |> = X*X)$ //等式-3

$P(|R-Ex(R)| * |R-Ex(R)| > = X*X) <= Ex(R-Ex(R) * R-Ex(R)) / X*X$ //等式-4

我们也知道下面的表达式并借助它我们可以求值。

$Var(R) = Ex((R-Ex(R))* |(R-Ex(R)))$

现在，把它放在第四个方程中，用第三个方程的 LHS 代替第四个方程的 LHS，我们得到如下切比雪夫不等式。

结果 ：

$P(|R - Ex(R)| >=X) <= Var(R)/X*X$

Chebyshev 不等式的推论：
如果我们用 c*Var(R) 替换 X，其中 c > 0，那么我们得到下面的方程，它可以很容易地证明如下。

$P(|R -Ex(R)| >= c*Var(R))<= 1/c*c$

切比雪夫不等式的例子：
让我们通过一个例子来理解这个概念，以便更好地理解如下。

示例-1：
假设随机变量 R = 随机人的智商。一个人的平均智商为 100，即 Ex(R) = 100。R 的方差为 15。(假设 R > 0)。那么，如果我们随机选择一个人，他/她的智商至少为 250 的概率是多少?

解决方案 –
为了解决这个问题，我们将使用 Chebyshev 不等式的推论如下。

P(R>=250) = P( R-100 >=150 ),

与推论相比，我们可以说以下结果如下。

since 150 = 10* Variance
so, c = 10.

因此，答案的上限为 1/100，即≤1%。

示例 2 ：
如果我们使用马尔可夫定理而不使用方差来解决相同的问题，我们将得到如下上界。

P ( R >= 250 ) < = Ex(R) / 250
= 100/250 = 2/5 = 40%.

因此，Same 问题的上限为马尔可夫不等式的 40%，切比雪夫不等式的上限为 1%。因此，如果我们知道随机变量 R 的方差，我们可以说切比雪夫不等式与马尔可夫不等式相比给出了更好的概率界限。