三角不等式与复数

在复数的学习中，三角不等式是一个非常基础的概念。它是指对于任意两个复数 $z_1$ 和 $z_2$，有

$$ |z_1+z_2| \leq |z_1| + |z_2| $$

这个不等式有许多重要的应用，例如我们可以用它来证明复数的模运算具有三角不等式这个性质。

证明

我们使用三角函数的方法来证明这个不等式。设 $z_1 = a_1 + b_1 i$，$z_2 = a_2 + b_2 i$，那么

$$ \begin{aligned} |z_1+z_2|^2 &= (a_1+a_2)^2 + (b_1+b_2)^2 \ &= a_1^2 + 2a_1a_2 + a_2^2 + b_1^2 + 2b_1b_2 + b_2^2 \ &= (a_1^2 + b_1^2) + (a_2^2 + b_2^2) + 2(a_1a_2 + b_1b_2) \ &= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2}) \ &\leq |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \ &= (|z_1| + |z_2|)^2 \end{aligned} $$

因为不等式两边都是取平方根之后的值，所以我们可以直接取平方根，得到

$$ |z_1+z_2| \leq |z_1| + |z_2| $$

证毕。

应用

我们介绍两个应用。第一个应用是证明复数的模运算具有三角不等式这个性质。

根据定义，我们有

$$ |z_1 z_2| = |z_1|\cdot|z_2| $$

于是

$$ \begin{aligned} |z_1+z_2|^2 &= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2\Re(z_1\overline{z_2}) \ &= |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2|\cos(\theta_1-\theta_2) \end{aligned} $$

其中 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 分别是 $z_1$ 和 $z_2$ 的辐角。

由于 $|\cos(\theta_1-\theta_2)| \leq 1$，所以

$$ |z_1+z_2| \leq |z_1| + |z_2| $$

证毕。

第二个应用是解决几何问题。我们已知平面上三点 $A$、$B$ 和 $C$，设它们对应的复数分别为 $a$、$b$ 和 $c$。我们要证明

$$ |a-b| + |b-c| \geq |a-c| $$

这个不等式和平面几何中的三角形两边之和大于第三边是一个类似的性质。我们可以通过展开左边的式子来证明它：

$$ \begin{aligned} |a-b| + |b-c| &= |(a-b)+(b-c)| \ &\geq |a-c| \end{aligned} $$

证毕。