旋转固体量

通过使平面区域R绕直线L(称为平面中的旋转轴)旋转来生成旋转固体。下图显示了旋转实体的示例。

当曲线方程以参数形式和极性形式给出时，我们将计算旋转固体的体积。

1. 参数形式：
   如果参数形式的曲线方程由下式给出：

   x= f(t) and y= g(t) 

   当t从t ₁到t _2变化时，则旋转量为：

   • 关于x轴–
     $V= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi y^{2}\frac{dx}{dt}dt$
     $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi g^{2}(t) \frac{df(t)}{dt}dt$
   • 关于y轴–
     $V= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi x^{2}\frac{dy}{dt}dt$
     $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi f^{2}(t) \frac{dg(t)}{dt}dt$
2. 极坐标形式：
   鉴于以极坐标形式曲线的方程R = F(θ)，其中θ从_θ1变化到_θ2，革命的体积使用给定的公式计算：
   • 关于初始线OX，即x轴(θ= 0)–
     $V= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{2\pi}{3}r^{3} \sin\theta d\theta$
   • 关于垂直于初始线的线，即沿着OY(θ=π/ 2)–
     $V= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{2\pi}{3}r^{3} \cos\theta d\theta$

让我们看下面的例子。

示例1：
确定通过旋转参数方程为的曲线产生的旋转固体的体积–

X= 2t+3 and y= 4t2-9 

关于x轴，t = -3/2至3/2。

解释 ：
我们知道，当方程为参数形式时，固体体积绕x轴旋转的公式为
$V= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi y^{2}\frac{dx}{dt}dt$
$\frac{dx}{dt}=2$
使用此值，我们得到
$=\int_{-3/2}^{3/2}\pi(4t^{2}-9)^{2}.2 dt$
$=2\pi \int_{-3/2}^{3/2}(16t^{4}+81-72t^{2})dt$
$=2\pi(\frac{16t^{5}}{5}+81t-24t^{3})\Biggr|_{-3/2}^{3/2}$
$= \frac{1296 \pi}{5} sq. units$

示例2：
求出围绕初始直线OX旋转曲线r = 2a cosθ生成的固体体积。

解释 ：
我们知道，当方程为极性形式时，由OX旋转产生的固体体积由下式给出：
$V= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{2\pi}{3}r^{3} \sin\theta d\theta$
同样对于OX，θ= 0
所以$V= \int_{0}^{\pi/2}\frac{2\pi}{3}(2a \cos\theta)^{3} \sin\theta d\theta$
$V= \frac{16\pi a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi/2}( \cos^{3}\theta)\sin\theta d\theta$
放$u= \cos\theta \scriptstyle\implies u^{3}= \cos^{3}\theta$
$du=-\sin\theta d\theta$
使用这些值，我们得到
$V= -\frac{16\pi a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi/2}u^{3}.du$
$V=-\frac{16\pi a^{3}}{3}(\cos^{4}\theta)\Biggr|_{0}^{\pi/2}$
$= \frac{16\pi a^{3}}{3}.\frac{1}{4}= \frac{4\pi a^{2}}{3} sq. units$