旋转固体体积

旋转体是通过将平面区域 R 绕称为平面中的旋转轴的直线 L 旋转而生成的。下图显示了旋转实体的示例。

当曲线方程以参数形式和极坐标形式给出时，我们将计算旋转体的体积。

1. 参数形式：
   如果参数形式的曲线方程由下式给出：

   x= f(t) and y= g(t) 

   其中 t 从 t ₁到 t _{2 变化}，则旋转体积：

   • 关于 x 轴 –
     $V= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi y^{2}\frac{dx}{dt}dt$
     $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi g^{2}(t) \frac{df(t)}{dt}dt$
   • 关于 y 轴 –
     $V= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi x^{2}\frac{dy}{dt}dt$
     $= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi f^{2}(t) \frac{dg(t)}{dt}dt$
2. 极性形式：
   给定极坐标形式的曲线方程为 r=f(θ)，其中 θ 从 θ ₁变化到 θ ₂ ，使用给定公式计算旋转体积：
   • 关于初始线 OX，即 x 轴 (θ=0) –
     $V= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{2\pi}{3}r^{3} \sin\theta d\theta$
   • 关于垂直于初始线的线，即沿 OY (θ=π/2) –
     $V= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{2\pi}{3}r^{3} \cos\theta d\theta$

让我们看看下面的例子。

示例 1：
确定通过旋转参数方程为 – 的曲线产生的旋转体的体积 –

X= 2t+3 and y= 4t2-9 

关于 t= -3/2 到 3/2 的 x 轴。

解释 ：
我们知道，当方程为参数形式时，绕 x 轴旋转的固体体积由下式给出
$V= \int_{t_{1}}^{t_{2}}\pi y^{2}\frac{dx}{dt}dt$
$\frac{dx}{dt}=2$
使用这个值我们得到
$=\int_{-3/2}^{3/2}\pi(4t^{2}-9)^{2}.2 dt$
$=2\pi \int_{-3/2}^{3/2}(16t^{4}+81-72t^{2})dt$
$=2\pi(\frac{16t^{5}}{5}+81t-24t^{3})\Biggr|_{-3/2}^{3/2}$
$= \frac{1296 \pi}{5} sq. units$

示例 2：
求通过围绕初始线 OX 旋转曲线 r= 2a cos θ 产生的固体体积。

解释 ：
我们知道，当方程为极坐标形式时，绕 OX 旋转产生的固体体积由下式给出
$V= \int_{\theta_1}^{\theta_2}\frac{2\pi}{3}r^{3} \sin\theta d\theta$
同样对于 OX，θ=0
所以$V= \int_{0}^{\pi/2}\frac{2\pi}{3}(2a \cos\theta)^{3} \sin\theta d\theta$
$V= \frac{16\pi a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi/2}( \cos^{3}\theta)\sin\theta d\theta$
放$u= \cos\theta \scriptstyle\implies u^{3}= \cos^{3}\theta$
$du=-\sin\theta d\theta$
使用这些值我们得到
$V= -\frac{16\pi a^{3}}{3}\int_{0}^{\pi/2}u^{3}.du$
$V=-\frac{16\pi a^{3}}{3}(\cos^{4}\theta)\Biggr|_{0}^{\pi/2}$
$= \frac{16\pi a^{3}}{3}.\frac{1}{4}= \frac{4\pi a^{2}}{3} sq. units$