📜  伽玛函数

📅  最后修改于: 2021-08-25 10:34:38             🧑  作者: Mango

伽马函数是阶乘函数到复数的一种常用扩展。伽玛函数是为非正整数以外的所有复数定义的。

伽玛函数表示为\Gamma\left (p \right)定义为:
 \Gamma\left(p \right) = \int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{p-1} dt其中p> 0。
伽玛函数也被称为第二类的欧拉积分。
通过我们得到的零件来集成Gamma函数,
\Gamma\left (p+1 \right) = \int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{p} dt
=-e^{-t} t^p \Biggr |_{0}^{\infty}+p\int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{p-1} dt
=0+p\Gamma\left (p \right)
因此\Gamma\left (p+1 \right) = p\Gamma\left (p \right)

一些标准结果:

  1. \Gamma\left (1/2 \right) = \sqrt \pi
    我们知道\Gamma\left(1/2 \right) = \int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t} dt
    放t = u ^ 2
    因此\Gamma\left(1/2 \right) = 2\int_{0}^{\infty}e^{{-u^2}}du
    \Gamma\left(1/2 \right) .\Gamma\left(p \right) = (2\int_{0}^{\infty}e^{{-u^2}}du)(2\int_{0}^{\infty}e^{{-u^2}}du)
    =4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}e^{-{u^2 + v^2}} du dv
    现在通过使用u = rcosθ和v = rsinθ更改为极坐标
    因此{\Gamma\left(1/2 \right)}^2 = 4\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\infty}e^{-{r^2}} dr d\theta
    =4\int_{0}^{\pi/2} -\frac{1}{2}e^{-r^2}\Biggr|_{r=0}^{\infty}
    =2\int_{0}^{\pi/2}d\theta =  2.\theta \Biggr|_{0}^{\pi/2}=\pi
    因此\Gamma\left (1/2 \right) = \sqrt \pi
  2. \Gamma\left(n+1 \right) = (m+1)^{n+1}(-1)^n \int_{0}^{1}x^m (ln x)^n dx
    其中n是一个正整数,m> -1
    放置x = e ^ -y使得dx = -e -y dy = -x dy
    \int_{0}^{1}x^m(ln x)^n dx= \int_{0}^{\infty}e^{-my} . (-y)^n e^{-y} dy
    (-1)^n \int_{0}^{\infty} y^n . e^{-(m+1)y} dy
    放(m + 1)y = u
    =(-1)^n \int_{0}^{\infty}\frac{u^n}{(m+1)^n}.e^{-u} .\frac{du}{m+1}
    =\frac{(-1)^n}{(m+1)^n+1}\int_{0}^{\infty}e^{-u} .u^n du = \frac{(-1)^n}{(m+1)^{n+1}}.\Gamma\left(n+1\right)

示例1:
计算\Gamma\left(4.5\right).

解释 :
使用\Gamma\left(p+1\right)=p\Gamma\left(p\right)
\Gamma\left(4.5\right)=\Gamma\left(3.5+1 \right)=3.5\Gamma\left(3.5\right)
=(3.5)(2.5)\Gamma\left(2.5\right)
=(3.5)(2.5)(1.5)\Gamma\left(1.5\right)
=(3.5)(2.5)(1.5)(0.5)\Gamma\left(0.5\right)
我们知道\Gamma\left(0.5\right)=\sqrt\pi
因此\Gamma\left(4.5\right)=6.5625\sqrt\pi

示例2:
评估I=\int_{0}^{\infty}x^4 e^-{x^4} dx

解释 :
输入x 4 = t,4x 3 dx = dt,dx = ¼t -3/4 dt
I=\int_{0}^{\infty}t.e^{-t} \frac{t^{-3/4}}{4}dt
= \frac{1}{4}\int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{3/4} dt
= \frac{1}{4}\Gamma\left(1+\frac{1}{4}\right)
= \frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)