伽玛函数

Gamma函数是阶乘函数对复数的一种常用扩展。伽马函数是为除非正整数以外的所有复数定义的。

伽马函数表示为$\Gamma\left (p \right)$定义为：
$\Gamma\left(p \right) = \int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{p-1} dt$其中 p>0。
Gamma函数也称为第二类欧拉积分。
按我们得到的部分积分 Gamma函数，
$\Gamma\left (p+1 \right) = \int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{p} dt$
$=-e^{-t} t^p \Biggr |_{0}^{\infty}+p\int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{p-1} dt$
$=0+p\Gamma\left (p \right)$
因此$\Gamma\left (p+1 \right) = p\Gamma\left (p \right)$

一些标准结果：

1. $\Gamma\left (1/2 \right) = \sqrt \pi$
   我们知道$\Gamma\left(1/2 \right) = \int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t} dt$
   把 t=u^2
   因此$\Gamma\left(1/2 \right) = 2\int_{0}^{\infty}e^{{-u^2}}du$
   $\Gamma\left(1/2 \right) .\Gamma\left(p \right) = (2\int_{0}^{\infty}e^{{-u^2}}du)(2\int_{0}^{\infty}e^{{-u^2}}du)$
   $=4\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}e^{-{u^2 + v^2}} du dv$
   现在使用 u = r cosθ 和 v = r sinθ 更改为极坐标
   因此${\Gamma\left(1/2 \right)}^2 = 4\int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{\infty}e^{-{r^2}} dr d\theta$
   $=4\int_{0}^{\pi/2} -\frac{1}{2}e^{-r^2}\Biggr|_{r=0}^{\infty}$
   $=2\int_{0}^{\pi/2}d\theta = 2.\theta \Biggr|_{0}^{\pi/2}=\pi$
   因此$\Gamma\left (1/2 \right) = \sqrt \pi$
2. $\Gamma\left(n+1 \right) = (m+1)^{n+1}(-1)^n \int_{0}^{1}x^m (ln x)^n dx$
   其中 n 为正整数且 m>-1
   放置 x=e^-y 使得 dx=-e ^-y dy=-x dy
   $\int_{0}^{1}x^m(ln x)^n dx= \int_{0}^{\infty}e^{-my} . (-y)^n e^{-y} dy$
   $(-1)^n \int_{0}^{\infty} y^n . e^{-(m+1)y} dy$
   把 (m+1)y = u
   $=(-1)^n \int_{0}^{\infty}\frac{u^n}{(m+1)^n}.e^{-u} .\frac{du}{m+1}$
   $=\frac{(-1)^n}{(m+1)^n+1}\int_{0}^{\infty}e^{-u} .u^n du = \frac{(-1)^n}{(m+1)^{n+1}}.\Gamma\left(n+1\right)$

示例 1：
计算$\Gamma\left(4.5\right).$

解释 ：
使用$\Gamma\left(p+1\right)=p\Gamma\left(p\right)$
$\Gamma\left(4.5\right)=\Gamma\left(3.5+1 \right)=3.5\Gamma\left(3.5\right)$
$=(3.5)(2.5)\Gamma\left(2.5\right)$
$=(3.5)(2.5)(1.5)\Gamma\left(1.5\right)$
$=(3.5)(2.5)(1.5)(0.5)\Gamma\left(0.5\right)$
我们知道$\Gamma\left(0.5\right)=\sqrt\pi$
因此$\Gamma\left(4.5\right)=6.5625\sqrt\pi$

示例 2：
评价$I=\int_{0}^{\infty}x^4 e^-{x^4} dx$

解释 ：
把 x ⁴ = t, 4x ³ dx = dt, dx = ¼ t ^-3/4 dt
$I=\int_{0}^{\infty}t.e^{-t} \frac{t^{-3/4}}{4}dt$
$= \frac{1}{4}\int_{0}^{\infty}e^{-t} t^{3/4} dt$
$= \frac{1}{4}\Gamma\left(1+\frac{1}{4}\right)$
$= \frac{1}{4}\Gamma\left(\frac{5}{4}\right)$