数学 |矩阵介绍

矩阵表示按行和列的顺序排列的数字集合。有必要用圆括号或方括号将矩阵的元素括起来。
具有 9 个元素的矩阵如下所示。

$\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{bmatrix}$

这个矩阵 [M] 有 3 行和 3 列。矩阵 [M] 的每个元素都可以通过其行号和列号来引用。例如，一个₂₃ =6

矩阵的顺序：
矩阵的阶是根据其行数和列数来定义的。
矩阵的阶数 = 行数 × 行数列数
因此矩阵 [M] 是一个 3 × 3 阶矩阵。

矩阵的转置：
mxn矩阵[M]的转置[M] ^T是将[M]的行和列互换得到的nxm矩阵。
如果 A= [a _ij ] mxn ，则 A ^T = [b _ij ] nxm 其中 bi _ij = a _ji

矩阵转置的性质：

• (A ^T ) ^T = A
• (A+B) ^T = A ^T + B ^T
• (AB) ^T = B ^T A ^T

奇异矩阵和非奇异矩阵：

1. 奇异矩阵：如果方阵的行列式为零，即|A|=0，则称其为奇异矩阵
2. 非奇异矩阵：如果方阵的行列式不为零，则称其为非奇异矩阵。

矩阵加法和乘法的性质：

1. A+B = B+A(可交换)
2. (A+B)+C = A+ (B+C)(联想)
3. AB ? BA(非交换)
4. (AB) C = A (BC)(联想)
5. A (B+C) = AB+AC(分配)

方阵：方阵的行数和列数一样多。即没有行数 = 没有列数。
对称矩阵：如果原始矩阵的转置等于其原始矩阵，则称该方阵是对称矩阵。即 (A ^T ) = A。
斜对称：斜对称(或反对称或反对称 [1])矩阵是一个方阵，其转置等于其负数。即 (A ^T ) = -A。

对角矩阵：对角矩阵是主对角线外的元素都为零的矩阵。该术语通常是指方阵。
单位矩阵：一个方阵，其中主对角线的所有元素都是 1，所有其他元素都为零。 单位矩阵表示为 I。
正交矩阵：^{如果 AA T} = A ^T A = I，则称矩阵是正交的
幂等矩阵：^{如果 A 2} = A，则称矩阵是幂等的
对合矩阵：^{如果 A 2} = I，则称矩阵是对合矩阵。

注意：每个方阵都可以唯一地表示为对称矩阵和偏对称矩阵之和。 A = 1/2 (AT + A) + 1/2 (A – AT)。

方阵的伴随：矩阵A的伴随是A的辅因子矩阵的转置

$\text{If A = }\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}\text{then,}$

$\text{Adj A = Transpose of }\begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3 \end{bmatrix}\text{=} \begin{bmatrix} A_1 & A_2 & A_3\\ B_1 & B_2 & B_3\\ C_1 & C_2 & C_3 \end{bmatrix}$

$\text Where, \begin{bmatrix} A_1 & B_1 & C_1\\ A_2 & B_2 & C_2\\ A_3 & B_3 & C_3 \end{bmatrix} \text {is cofactor matrix of A}$

伴随属性：

1. A(Adj A) = (Adj A) A = |A| I _N
2. Adj(AB) = (Adj B).(Adj A)
3. |调整 A|= |A| ^n-1
4. Adj(kA) = k ^n-1 Adj(A)
5. |adj(adj(A))|= |A|^(n-1)^2
6. adj(adj(A))=|A|^(n-2) * A
7. 如果 A = [L,M,N] 则 adj(A) = [MN, LN, LM]
8. adj(I) = I

其中，“n = 行数 = 列数”

方阵的逆：

$A^{-1} = \frac{Adj A}{|A|}$

这里|A|不应该为零，意味着矩阵 A 应该是非奇异的。

逆的性质：

1. (A ^-1 ) ^-1 = A
2. (AB) ^-1 = B ^-1 A ^-1
3. 只有非奇异方阵才能有逆矩阵。

我们应该在哪里使用逆矩阵?

如果你有一组联立方程：

7x + 2y + z = 21
3y – z = 5
-3x + 4y – 2x = -1

正如我们知道当 AX = B 时，那么 X = A ^-1 B 所以我们计算 A 的倒数，然后乘以 B，我们可以得到 x、y 和 z 的值。

矩阵的迹：矩阵的迹记为tr(A)，只用于方阵，等于矩阵对角线元素之和。记住矩阵的迹也等于矩阵的特征值之和。例如：

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \text{ tr(A) = 1+5+9 = 15}$