数学 |命题逻辑导论 | 2套

先决条件：命题逻辑导论 – 第 1 集

德摩根定律：

在命题逻辑和布尔代数中，德摩根定律是一对转换规则，它们都是有效的推理规则。它们以 19 世纪英国数学家奥古斯都德摩根的名字命名。这些规则允许通过否定纯粹根据彼此来表达连词和析取词。
在正式语言中，规则写成——

• $\neg (p\wedge q) \equiv \neg p \vee \neg q$
• $\neg (p\vee q) \equiv \neg p \wedge \neg q$

真值表证明 –

$\begin{tabular}{ ||c||c||c||c||c||c||c||c||c||c|| } \hline p & q & \neg p & \neg q & p\wedge q & \neg p\vee \neg q & p\vee q & \neg p\wedge \neg q \\ \hline T & T & F & F & T & F & T & F \\ \hline T & F & F & T & F & T & T & F \\ \hline F & T & T & F & F & T & T & F \\ \hline F & F & T & T & F & T & F & T \\ \hline \end{tabular}$

特殊条件语句：

众所周知，我们可以使用现有的命题和逻辑连接词形成新的命题。可以从条件语句开始形成新的条件语句$p\rightarrow q$ .
特别是，有三个相关的条件语句经常出现，以至于它们有特殊的名称。

• 含义 ： $p\rightarrow q$
• Converse ：命题的逆命题$p\rightarrow q$是$q\rightarrow p$
• 反证法：命题的反证法$p\rightarrow q$是$\neg q\rightarrow \neg p$
• 逆：命题的逆$p\rightarrow q$是$\neg p\rightarrow \neg q$

总结一下，

$\begin{tabular}{ ||c||c|| } \hline Statement & If p, then q\\ \hline \hline Converse & If q, then p \\ \hline Contrapositive & If not q, then not p \\ \hline Inverse & If not p, then not q\\ \hline \end{tabular}$

注意：有趣的是注意到条件语句的真值$p\rightarrow q$与它的对立相同，并且其逆的真值$p\rightarrow q$与其 Inverse 的真值相同。
当两个复合命题总是具有相同的真值时，就称它们是等价的。

所以，

• $p\rightarrow q \equiv \neg q\rightarrow \neg p$
• $q\rightarrow p \equiv \neg p\rightarrow \neg q$

$\begin{tabular}{ ||c||c||c||c||c||c||c||c|| } \hline p & q & \neg p & \neg q & p\rightarrow q & \neg q\rightarrow \neg p & q\rightarrow p & \neg p\rightarrow \neg q \\ \hline T & T & F & F & T & T & T & T \\ \hline T & F & F & T & F & F & T & T \\ \hline F & T & T & F & T & T & F & F \\ \hline F & F & T & T & T & T & T & T \\ \hline \end{tabular}$

例子 ：

含义：如果今天是星期五，那么正在下雨。

给定命题的形式是$p\rightarrow q$ ， 在哪里$p$是“今天是星期五”和$q$是“今天下雨”。
给定命题的逆反、逆和逆分别是-

• 匡威：如果下雨，那么今天是星期五
• 反证法：如果不下雨，那么今天不是星期五
• 逆：如果今天不是星期五，那么就没有下雨

双条件的隐式使用：

最后一篇文章是本主题的第一部分，最后讨论了双条件、它是什么以及它的真值表。在自然语言中，双条件并不总是明确的。特别是，iff 结构(当且仅当)很少在通用语言中使用。相反，双条件句通常使用“if, then”或“only if”结构来表达。 “当且仅当”的另一部分是隐含的，即反面是隐含的，但没有说明。
例如考虑以下语句，
“做完作业就可以出去玩了”。真正的意思是“当且仅当你完成作业时，你才能出去玩”。这个语句在逻辑上相当于两个语句，“做完作业就可以出去玩”和“做完作业才能出去玩”。
由于自然语言中的这种不精确性，需要假设自然语言中的条件语句是否包含其逆向语句。

逻辑连接词的优先顺序：

逻辑连接词用于通过连接现有命题来构造复合命题。虽然括号可用于指定复合命题中的逻辑运算符需要应用的顺序，但在逻辑运算符中存在优先顺序。
优先顺序是——

$\begin{tabular}{ ||c||c|| } \hline Operator & Precedence \\ \hline \hline \neg & 1 \\ \hline \wedge & 2 \\ \vee & 3 \\ \hline \rightarrow & 4 \\ \leftrightarrow & 5 \\ \hline \end{tabular}$

在这里，数字越大，优先级越低。

翻译英文句子：

正如本文上面提到的，自然语言(如英语)是有歧义的，即一个语句可能有多种解释。因此，将这些句子转换为涉及命题变量和逻辑连接词的数学表达式是很重要的。
上述转换过程可能会对句子的预期含义进行某些合理的假设。一旦句子被翻译成逻辑表达式，就可以进一步分析它们以确定它们的真值。然后可以进一步使用推理规则来推理表达式。

例子 ：

“只有当你是计算机科学专业的学生或者你不是大一新生时，你才能从校园访问互联网。”
上述陈述可以被视为一个单一的命题，但将其分解为更简单的命题会更有用。这将使分析其含义和推理变得更容易。

上面的句子可以分解为三个命题，

$p$ – “你可以从校园访问互联网。” $q$ ——“你是计算机专业的。” $r$ ——“你是大一新生。”

使用逻辑连接词，我们可以连接上述命题以获得给定语句的逻辑表达式。
“仅当”是表达条件语句的一种方式，(如上一篇文章中本主题的第 1 部分所述)，
因此，逻辑表达式将是 –

$p\rightarrow (q\vee \neg r)$

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在前几年的 GATE 或 GATE 模拟测试中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2009，问题 24
2. GATE CS 2014 Set-1，问题 63
3. GATE CS 2006，问题 28
4. GATE CS 2002，问题 8
5. GATE CS 2000，问题 30
6. GATE CS 2015 Set-1，问题 24

参考 –

命题逻辑 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen