离散数学——命题逻辑的应用

命题是一个断言、陈述或陈述句，可以为真或假，但不能两者兼而有之。例如，“拉姆去上学”这句话。可以是真或假，但两者都发生的情况是不可能的。所以我们可以说，“拉姆上学了”这句话。是一个命题。但是，“N 大于 100”这句话不是一个命题，因为除非给出 N 的值，否则我们不能说明它是真还是假。命题的更多示例是“12 – 10 = 3”、“图书馆已开放。”等。

处理命题的数理逻辑领域称为命题逻辑或命题演算。它也被称为句子逻辑或句子演算。它研究命题作为一个整体的逻辑值，以及用逻辑连接词（如逻辑与、逻辑或等）连接起来的逻辑关系。

命题逻辑的重要性

命题逻辑在计算机科学以及人们的日常生活中发挥着重要作用。研究和使用命题逻辑的主要好处是它可以防止我们做出不一致的推论和不谨慎的决定。它在一个人的日常生活中融入了推理和思维能力。

命题逻辑的应用

在计算机科学领域，命题逻辑有着广泛的应用，因此非常重要。它用于系统规范、电路设计、逻辑谜题等。除此之外，它还可以用于将英语句子翻译成数学语句，反之亦然。让我们详细了解这些种类繁多的应用程序。

1）将英语句子翻译成逻辑语句

像任何其他人类语言一样，英语句子可能是模棱两可的。这种模棱两可可能导致不知情的决策和其他致命错误。为了消除这种歧义，我们可以借助命题逻辑将这些英语句子翻译成逻辑表达。请注意，有时这可能包括根据句子的预期含义做出一些假设。

示例：给定一句话“如果你有 20 美元或 10 美元和一张折扣券，你可以购买这本书。 ” 现在，一下子理解起来有点复杂。因此，我们将其翻译成一个逻辑表达式，使其易于理解。让a 、 b 、 c和d代表 句子“你可以购买这本书。 “，”你有 20 美元。 “，”你有 10 美元。 ”，以及“您有一张折扣券。 “ 分别。然后给定的句子可以翻译为(b ∨ (c ∧ d) -> a ，这只是意味着“如果你有 20 美元或 10 美元，以及一张折扣券，那么你可以购买这本书。”

2) 系统规格

在开发/制造系统（软件或硬件）时，开发人员/制造商必须满足某些需求和规范，这些需求和规范通常用英文说明。但由于英语句子可能含糊不清，开发人员/工程师将这些系统规范翻译成逻辑表达式，以严格明确地陈述规范。

示例：让a、b、c和d代表句子“计算机在本地网络内。 ", "计算机具有有效的登录 ID。 ", "计算机正由管理员使用。 ”，以及“计算机可以访问 Internet。”所以复杂的句子，“如果计算机在本地网络内或不在本地网络内但具有有效的登录ID或在管理员的使用下，则计算机可以访问Internet。 ”可以表示为 ( a ∨ (¬a ∧ b) ∨ c) -> d。

3) 逻辑谜题

使用推理和逻辑解决的难题称为逻辑难题。它们可用于大脑锻炼、娱乐目的以及测试一个人的推理能力。解决此类难题通常很棘手，但使用命题逻辑可以轻松完成。一些著名的逻辑谜题是泥泞的儿童谜题， Smullyan 的关于骑士和无赖的谜题等。

例子：

问题陈述：有一个岛屿有两种居民，骑士，总是说真话，和他们的对立面，流氓，总是撒谎。你遇到两个人 A 和 B。如果 A 说“B 是流氓”而 B 说“我们都是同一类型”，那么确定 A 和 B 是什么？

解：设p和q分别是A是骑士和B是骑士的陈述，所以¬p和¬q分别是A是无赖和B是无赖的陈述。假设A是骑士，即p为真。所以A说的是真话，这意味着¬q是真的。现在，由于B是流氓，无论它说什么都是谎言，即(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)是错误的，这仅表示如果其中一个是流氓，那么另一个是骑士或反之亦然。现在，根据假设，这个陈述是正确的。所以我们可以得出结论， A是骑士， B是无赖。

4) 布尔搜索

命题逻辑的另一个重要应用是布尔搜索。这些搜索使用命题逻辑中的技术。逻辑连接词广泛用于搜索大量信息，例如网页索引。在布尔搜索中，连接词 AND 用于查找同时包含这两个术语的记录，连接词 OR 用于查找包含其中一个或两个术语的记录，连接词 NOT，也写作 AND NOT，是当我们需要排除特定搜索词时使用。

示例：一些网络搜索引擎支持使用布尔技术的网页搜索。例如，如果我们要查找有关在西阿尔卑斯山徒步旅行的网页，那么我们可以查找与 WEST AND ALPS AND HIKING 匹配的页面。如果我们想要关于在阿尔卑斯山徒步旅行的网页，而不是在西阿尔卑斯山，那么我们可以搜索与记录 HIKING AND ALPS AND NOT (WEST AND ALPS) 匹配的页面。

5) 逻辑/计算机电路

逻辑门或电路是实现布尔函数的电子设备，即它对输入的一位或多位进行逻辑运算并给出一位作为输出。它们是任何数字系统的基本构建块。输入和输出之间的关系基于一定的命题逻辑。

示例：根据逻辑连接词 AND、OR、NOT 等的名称，逻辑门被命名为 AND 门、OR 门、NOT 门等。这些门的给定输入位的输出真值与那些由逻辑连接词返回的。

6) 推理和决策

命题逻辑广泛用于推理和决策的制定规则。然后可以使用这些推理规则来构建论点。当给出多个前提时，很难判断一个给定的论点是否有效。因此，我们使用这些推理规则来验证论点并做出决定。

示例：我们可以证明以下前提使用推理规则构建了一个有效论证。

“如果今天是星期二，我有一个英语或科学考试。如果我的英语教授缺席，那我就没有英语考试了。今天是星期二，我的英语教授缺席了。因此我有一个科学考试。 “

T: Today is Tuesday

E: I have a test in English

S: I have a test in Science

A: My English Professor is absent

作为逻辑符号的前提

推理规则

因此，所陈述的论点是有效的。

7) 人工智能——模糊逻辑

AI算法利用模糊逻辑。在模糊逻辑中，没有绝对真值和绝对假值的逻辑。但是在模糊逻辑中，存在一个中间值，它部分为真，部分为假。

例如：真值 0.6 可以分配给语句“Fred 很快乐”，因为 Fred 比大多数时候都更快乐，真值 0.5 可以分配给语句“Percy 很快乐”，因为 Percy 是快乐的一半。