偏序和晶格 (Set-2) |数学

先决条件：偏序和格|组 1

有序集 –
给定一个偏序集， (X, ≤) 我们说 ≤ 是一个良序(well-ordering)并且它是良序的 ≤ 当 X 的每个非空子集都有一个最小元素。当 X 非空时，如果我们选择 X 的任何二元素子集 {a, b}，因为子集 {a, b} 必须有一个最小元素，我们看到 a≤b 或 b≤a ，即每个井阶都是一个全阶。
例如——自然数(N)的集合是有序的。

格：一个 POSET，其中每对元素都有最小上界和最大下界。

格子类型：-

1. 有界格：
如果格 L 具有最大元素 I 和最小元素 0，则称该格 L 有界。
例如 – D ₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18} 是一个有界格。

注意：每个有限格总是有界的。

2. 补充格：
如果格 L 是有界的，并且 L 中的每个元素都有一个补集，则称该格 L 是补集。在这里，每个元素应该至少有一个补语。
例如 – D ₆ {1, 2, 3, 6} 是一个补格。

在上图中，每个元素都有一个补码。

3.分布格：

如果格子满足以下两个分布特性，则称为分布格子。

• x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
• x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)

• 互补分配格是布尔代数或布尔格。
• 一个格是可分配的，当且仅当它的子格中没有一个与 N ₅或 M ₃同构。
• 对于分配格，每个元素都有唯一的补集。这可以用作定理来证明格不是可分配的。

4.模块化格子

如果格满足以下性质，则称为模格。
a^(b∨(a^d)) = (a^b)(a^d)。

例子-