数学 | PnC 和二项式系数

先决条件 –组合数学基础

几个计数问题需要找到排列一定数量不同元素的方法数量，这些元素的相对顺序很重要，其他问题则侧重于找到从集合中选择特定数量元素的方法数量，其中顺序元素无关紧要。这两种类型的问题很相似，除了一个关键的区别，区别是order 。

排列——

一组不同对象的排列是这些对象的有序排列。排列通常也称为排列。元素的相对顺序在排列中很重要。
有序的安排集合的元素称为r-permutation 。它表示为 .
为了 $1\leq r\leq n$ ,

$\begin{flalign*} P(n,r) &= n * (n-1) * ... * (n-r+1)\\ &= \frac{n * (n-1) * ... * (n-r+1) * (n-r) *...* 2 * 1}{(n-r) * (n-r-1) * .... * 2 * 1}\\ &= \frac{n!}{(n-r)!} \end{flalign*}$

上述公式为是乘积规则的一个简单应用。

示例 1 –字符串“ABCDEFGH”的多少个排列将字符串“ABC”作为子字符串?
解决方案 –要使“ABC”成为子字符串，字母 A、B 和 C 必须作为一个块出现。如果我们将该块和剩余的 5 个字母视为对象，我们总共有 6 个对象要排列。
因此有“ABC”作为自己的子= 6字符串的数量！ = 720。
示例 2 –找出单词“CIVILIZATION”的排列数。
解决方案 –文明一词具有以下字符频率-
‘C’ – 1
“我”——4
‘V’ – 1
‘L’ – 1
‘Z’ – 1
‘A’ – 1
‘T’ – 1
‘O’ – 1
‘N’ – 1
如果所有字符都是不同的，则排列的数量将是在哪里 = 12。但是由于字母“I”重复了 4 次，因此排列的次数较少。这是因为如果“我”在它们之间排列，则整个排列不会改变。因此，为了纠正排列的数量，我们将总排列除以在哪里是字母或对象重复的次数。
安排总数 = $\frac{P(12,12)}{P(4,4)} = \frac{12!}{4!} = 19958400$

组合 –

一组不同对象的组合只是可以从特定大小的集合中选择特定数量元素的方式数量的计数。元素的顺序在组合中无关紧要。
无序选择集合中的元素称为r 组合。它表示为和 $\binom{n}{r}$ .
由于组合只是无序排列，因此 -组合可以表示为 -排列。
这 -置换可以通过首先获得 – 组合，然后对每个元素进行排序 -组合，可以在方法。
$\therefore P(n,r) = C(n,r) * P(r,r)\\$
这给了我们-

$\begin{flalign*} C(n,r) &= \frac{P(n,r)}{P(r,r)}\\ &= \frac{n!}{(n-r)!} * \frac{1}{r!}\\ &= \frac{n!}{r!(n-r)!}& \end{flalign*}$

示例 1 –确定可以从一副 52 张牌中选择 5 张牌的方法数量，以便恰好有一张 A。
解决方案 –在 4 张 A 中，可以选择一张 $\binom{4}{1} = 4$ 方法。
剩下的 4 张牌必须从剩余的 48 张牌中选出。选择这4张牌的方法数是 $\binom{48}{4} = 194580$ .
按产品规则选择5张牌的方式总数= $\binom{4}{1} * \binom{48}{4}$ = 4 * 194580 = 778320。
示例 2 –一个多边形有 44 条对角线。找出它的边数。
解决方案 –对角线是连接两个不相邻顶点的线。如果是顶点数，那么非相邻顶点对数= $\binom{n}{2} - n$ . 被减去，因为有边。
因此对角线数 = 非相邻顶点数
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 44$
在解决我们得到 = 11。

二项式系数 –

这 – 来自一组的组合元素如果表示为 $\binom{n}{r}$ .这个数字也称为二项式系数，因为它作为二项式表达式幂展开的系数出现。
二项式定理给出二项式表达式的幂作为涉及二项式系数的项的总和。

正式地，
让和是变量和是一个非负整数。然后

$\begin{flalign*} (x+y)^n &= \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^{n-j}y^j\\ &= \binom{n}{0}x^{n} + \binom{n}{1}x^{n-1}y +...+ \binom{n}{n-1}xy^{n-1} + \binom{n}{n}y^{n} \end{flalign*}$

示例 1 –的系数是多少 $x^{12}y^{13}$ 在扩大 $(2x-3y)^{25}$ ?
解决方案 – $(2x-3y)^{25} = (2x+(-3y))^{25}$ .
根据二项式定理——
$(2x+(-3y))^{25} = \sum_{j=0}^{25}\binom{25}{j}(2x)^{25-j}(-3y)^j$
由于权力是 13, .
因此系数 $x^{12}y^{13}$ 是-
$\binom{25}{13}2^{12}(-3)^{13} = - \frac{25!}{13!12!}2^{12}3^{13}$
示例 2 –证明 $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$ .
解决方案——如果我们把和在二项式定理表达式中，我们得到-
$\\ (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} 1^{n-k} 1^{k} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\\$
$2^n = (1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$
示例 3 –证明 $\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}\binom{n}{k} = 0$ .
解决方案——如果我们把和在二项式定理表达式中，我们得到-
$\\ ((-1) + 1)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} (-1)^{n-k} 1^{k} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}\\$
$0 = 0^n = ((-1) + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n}{k}$
示例 4 –证明 $\sum_{k=0}^{n} (2)^{k}\binom{n}{k} = 3^n$ .
解决方案——如果我们把和在二项式定理表达式中，我们得到-
$\\ (1 + 2)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k} (1)^{n-k} 2^{k} = \sum_{k=0}^{n} 2^{k} \binom{n}{k}\\$
$3^n = (1 + 2)^n = \sum_{k=0}^{n} 2^{k} \binom{n}{k}$