数学 |旋转体的表面面积

考虑在纵坐标 x=a 和 x=b 之间的 xy 平面中的平面 y=f(x)。如果这条曲线的某个部分绕着一个轴旋转，就会生成一个旋转体。

我们可以通过各种方式计算这次革命的面积，例如：

1. 笛卡尔形式：
   • 通过围绕 x 轴旋转曲线弧形成的实体面积是 –
     $S= \int_{x=a}^{x=b} 2\pi y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$
   • 绕 y 轴旋转曲线的旋转面积是 –
     $S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi x \sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$
2. 参数形式： $x=x(t), y=y(t)$
   • 关于 x 轴：
     $S=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} 2\pi y(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$
   • 关于 y 轴：
     $S=\int_{t=t_{1}}^{t=t_{2}} 2\pi x(t) \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$
3. 极坐标形式：r=f(θ)
   • 关于 x 轴：初始线$\theta = \frac{\pi}{2}$
     $S= \int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi y\frac{ds}{d\theta}d\theta$
     $=\int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi (r sin\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta$
     这里用 f(θ) 替换 r
   • 关于 y 轴：
     $S= \int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi x\frac{ds}{d\theta}d\theta$
     $=\int_{\theta=\theta_1}^{\theta _2}2\pi (r cos\theta) \sqrt{r^2+(\frac {dr}{d\theta})^2}d\theta$
     这里用 f(θ) 替换 r
4. 关于任何轴或线 L： $S= \int 2\pi (PM) ds$其中 PM 是曲线的点 P 到给定轴的垂直距离。
   • x 的限制：x = a 到 x = b
     $S=\int_{x=a}^{x=b} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$
     这里 PM 是用 x 表示的。
   • y 的限制：y = c 到 y = d
     $S= \int_{y=c}^{y=d} 2\pi (PM)\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}dy$
     这里 PM 以 y 表示。

   例子：
   求旋转抛物线产生的旋转体的面积$y^2=4ax, 0\leq x \leq 3a$关于 x 轴。
   解释：
   现在我们给出了抛物线方程的笛卡尔形式，并且抛物线已经绕 x 轴旋转了。因此，我们使用绕 x 轴旋转笛卡尔形式的公式，即：

   $S= \int_{x=a}^{x=b} 2\pi y\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$

   这里$y^2= 4ax$ .现在我们需要计算 dy/dx

   区分 wrt x 我们得到：

   $2yy'= 4a$

   $y'=\frac{2a}{y}$

   $1+(y')^2=1+\frac {4a^2}{y^2}=\frac{y^2+4a^2}{y^2}$

   使用$y^2=4ax$

   $\sqrt {1+(y')^2}=\sqrt{\frac{4ax+4a^2}{y^2}}=\frac{2\sqrt a}{y}\sqrt {a+x}$

   现在我们提供了 x 的极限为 x=0 到 x=3。将我们的计算值代入上述公式，我们得到：

   $S=\int_{0}^{3a} 2\pi y.{\frac{2\sqrt a}{y}\sqrt {a+x}}dx$

   $=2\pi\int_{0}^{3a} y.{\frac{2\sqrt a}{y}\sqrt {a+x}}dx$

   $=4\pi\sqrt a\int_{0}^{3a}\sqrt {a+x}$

   $=4\pi\sqrt a\int_{0}^{3a}\frac{2}{3}(x+a)^{3/2}\Biggr|_{0}^{3a}$

   $=\frac{8}{3}\pi\sqrt a ((4a)^{3/2}-(a)^{3/2})$

   $=\frac{8}{3}\pi\sqrt a.a^{3/2}(8-1)$

   $=\frac{56\pi a^2}{3} sq. units$

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