求大数的余数

数字系统是解决GATE Aptitude问题和不同公司入学考试能力的重要概念。

以下是许多考试中都会问到的一个重要问题。

问题 ：
如果 7 ¹²⁶不能被 48 整除，求余数?

正常方法：
为了计算余数，我们首先计算数字 7 ¹²⁶的原始值并将其除以 48 并获得余数。
这是一个非常漫长和耗时的过程，以这种方式解决它根本不可行。所以我们使用一些与整除性相关的重要数学概念来解决这个问题。

快速方法：
解决问题的重要概念，

• (xⁿ – aⁿ) divisible by (x – a) for every n (n belongs to integers)
• (xⁿ – aⁿ) divisible by (x + a) for every even number n (n belongs to integers)
• (xⁿ – aⁿ) divisible by (x + a) for every odd number n (n belongs to integers)

我们还使用另一个基本公式；

Dividend = divisor x quotient + remainder 

给定数字的形式使得基数非常接近 48。

这是通过使用公式 ( a ^mn ) = (a ^m ) ⁿ

7126 = (72)63 = 4963 

现在通过使用我们的数学公式，我们应该对 49 ⁶³加上或减去一个数，使其能被 48 整除。

(4963 – 1) = (4963 - 163) 

通过将它与 (x ⁿ – a ⁿ ) 进行比较，我们可以写出，

x = 49, n = 63 and a = 1

因此从上面我们得到
( 49 ⁶³ – 1 ⁶³ ) 可以被 (49-1) 和 (49+1) 整除
所以，(49 ⁶³ – 1) 可以被 48 整除
让 (49 ⁶³ – 1)/48 = q (其中 q 是商)

4963 – 1 = 48 x q
4963 = 48 x q + 1 
7126 = 48 x q + 1 

与。

Dividend = divisor * quotient + remainder 

所以从上面当被除数 = 7 ¹²⁶和除数 = 48 时，余数为 1。
所以当 7 ¹²⁶除以 48 时，余数为 1。

这样我们就可以得到如此大数的余数。它花费的时间非常少，并且在竞争性考试中非常有用。