假设一群 20 只鸽子飞入一组 19 个鸽笼栖息。因为有20羽鸽子但只有19羽，所以这19羽中至少有1羽至少有2羽。要了解为什么这是真的，请注意，如果每个鸽舍最多有一只鸽子，那么最多可以容纳 19 只鸽子，每个鸽洞一只。这说明了一个称为鸽笼原理的一般原则，它指出，如果鸽子比鸽笼多，那么必须至少有一个鸽笼，里面至少有两只鸽子。
定理——
I)如果“A”是每洞的平均鸽子数，其中 A 不是整数，那么
- 至少一个鸽巢包含ceil[A] (大于或等于A的最小整数)鸽子
- 剩余鸽洞最多包含floor[A] (小于或等于 A 的最大整数)鸽子
要么
II)我们可以说，如果将 n+1 个物体放入 n 个盒子中，那么至少一个盒子包含两个或多个物体。
原理的抽象表述：令 X 和 Y 是有限集，并令
成为一个函数。
- 如果 X 的元素多于 Y，则 f 不是一对一的。
- 如果 X 和 Y 具有相同数量的元素并且 f 是 on，则 f 是一对一的。
- 如果 X 和 Y 具有相同数量的元素并且 f 是一对一的，则 f 是 on。
鸽巢原理是数学中最简单但最有用的思想之一。我们会看到更多证明这个定理的应用。
- 示例 – 1：如果 (Kn+1) 只鸽子被关在 n 个鸽笼中，其中 K 是一个正整数，那么平均数量是多少?每个鸽洞有多少鸽子?
解：平均每洞鸽子数=(Kn+1)/n
= K + 1/n
因此，将至少有一个鸽笼，其中将包含至少 (K+1) 只鸽子，即 ceil[K +1/n] 并且剩余的将最多包含 K 只，即 floor[k+1/n] 只鸽子。
即，确保至少一个鸽巢包含(K+1)羽鸽子所需的最小鸽子数是(Kn+1)。 - 示例 – 2：一个袋子里有 10 个红色弹珠、10 个白色弹珠和 10 个蓝色弹珠。最小数量是多少。您必须从袋子中随机选择多少个弹珠，以确保我们得到 4 个相同颜色的弹珠?
解决方法：应用鸽巢原理。
颜色数(鸽巢) n = 3
弹珠数量(鸽子) K+1 = 4
因此最低没有。需要的弹珠数 = Kn+1
通过简化，我们得到 Kn+1 = 10。
验证：ceil[Average]为[Kn+1/n] = 4
[Kn+1/3] = 4
Kn+1 = 10
即，3 红 + 3 白 + 3 蓝 + 1(红或白或蓝)= 10
鸽巢原理强形式——
定理：令 q 1 , q 2 , . . . , q n为正整数。
如果 q 1 + q 2 + 。 . . + q n – n + 1 个物体放入 n 个盒子中，然后第一个盒子至少包含 q 1 个物体，或者第二个盒子至少包含 q 2 个物体，。 . .，第 n 个盒子至少包含 q n 个对象。这个定理的应用更重要，所以让我们看看我们如何应用这个定理解决问题。
- 示例 – 1：在计算机科学系，学生俱乐部可以由第一年的 10 名成员或第二年的 8 名成员或第三年的 6 名成员或最后一年的 4 名成员组成。最小数量是多少。我们必须从部门中随机选择学生以确保形成学生俱乐部?
解决方案：我们可以直接从上面的公式中应用其中，
q 1 =10, q 2 =8, q 3 =6, q 4 =4 和 n=4
因此，确保部门俱乐部成立所需的最少学生人数是
10 + 8 + 6 + 4 – 4 + 1 = 25 - 示例 – 2：一个盒子包含 6 个红球、8 个绿球、10 个蓝球、12 个黄球和 15 个白球。最小数量是多少。我们必须从盒子中随机选择多少个球，以确保我们得到 9 个相同颜色的球?
解决方法：在这里我们不能盲目地应用鸽子原理。首先我们将看看如果我们直接应用上面的公式会发生什么。
从上面的公式我们得到答案 47 因为 6 + 8 + 10 + 12 + 15- 5 + 1 = 47
但这是不正确的。为了得到正确的答案，我们只需要包括蓝色、黄色和白色的球，因为红色和绿色的球都小于 9。但是我们是随机挑选的，所以我们在应用鸽子原理之后才包括在内。
即，9 蓝色 + 9 黄色 + 9 白色 – 3 + 1 = 25
由于我们是随机挑选的，所以我们可以在上面的25个球之前得到所有的红球和绿球。因此我们添加 6 个红色 + 8 个绿色 + 25 = 39
我们可以得出结论，为了随机挑选 9 个相同颜色的球，一个人必须从一个盒子中挑选 39 个球。