数学 |威布尔分布模型

介绍 ：

假设一个事件在给定的时间单位内可以发生多次。当事件发生的总次数未知时，我们可以将其视为一个随机变量 X。当这个随机变量 X 遵循威布尔分布模型(与指数分布密切相关)时，则其概率密度函数如下给出。

$f(x) = \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}}$

only when 
x > 0, α >0, β > 0.  
f(x) = 0 , Otherwise

威布尔分布的累积分布函数如下获得。

$F(x) = \int_{0}^{x}\alpha\beta w^{\beta-1}e^{-\alpha w^{\beta}} dw$

把 y = $w^b$ ,

我们将得到以下表达式。

$F(x) = \int^{x^b}_{0} \alpha e^{-\alpha y} dy = 1-e^{-\alpha x^\beta}$

这意味着，当 X 具有威布尔分布时，则 Y = $X^β$呈指数分布。

期望值 ：

Beta 分布的期望值可以通过将值与其各自概率的乘积相加来找到。

$\mu = E(X) = \int^{\infty}_{-\infty} x.f(x) dx$$\mu = \int^{\infty}_{0} x. \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}} dx$

把你 = $\alpha x^\beta$ ,

我们将得到如下表达式。

$\mu = \alpha^{-1/\beta} \int^{\infty}_0 u^{1/\beta} e^{-u} du$

使用 gamma函数的定义，我们将得到如下表达式。

$\mu = \alpha^{-1/\beta} \Gamma(1+\frac{1}{\beta})$

方差和标准差：

可以使用方差公式找到 Beta 分布的方差。

$σ^2 = E( X − μ )^2 = E( X^2 ) − μ^2$$E(X^2) = \int^{\infty}_{-\infty} x^2.f(x) dx$$E(X^2) = \int^{\infty}_{0} x^2. \alpha\beta x^{\beta-1}e^{-\alpha x^{\beta}} dx$

把你 = $\alpha x^\beta$ ,

我们将得到如下表达式。

$E(X^2) = \alpha^{-2/\beta} \int^{\infty}_0 u^{2/\beta} e^{-u} du$

使用 gamma函数的定义，我们将得到以下结果。

$E(X^2) = \alpha^{-2/\beta} \Gamma(1+\frac{2}{\beta})$$So, Var(X) = E(X^2) - \mu^2$$Var(X) = \sigma^2 = \alpha^{-2/\beta} [\Gamma(1+\frac{2}{\beta})- \{\Gamma (1+\frac{1}{\beta})\}^2]$

标准偏差如下。

$\sigma = \alpha^{-1/\beta} \sqrt{[\Gamma(1+\frac{2}{\beta})- \{\Gamma (1+\frac{1}{\beta})\}^2]}$

例子 –

假设某种应急备用电池的寿命(以小时为单位)是一个随机变量 X，其服从威布尔分布，α = 0.1，β = 0.5。寻找

1. 这些电池的平均寿命；
2. 这种电池将持续超过 300 小时的概率。

解决方案 –

1. 将α 和β 的值代入均值公式中，我们将得到以下结果。

$\mu = (0.1)^{-2}\Gamma(3) = 200$小时

2. 电池续航时间超过 300 小时的概率如下。

$\int_{300}^{\infty} (0.05)x^{-0.5} e^{-0.1x^{0.5}} dx = e^{-0.1(300)^{0.5}} = 0.177$