数学 |函数的类（内射、满射、双射）

从 A 到 B 的函数f 是将 B 的一个元素恰好分配给 A 的每个元素(A 和 B 是非空集)。 A 称为 f 的域，B 称为 f 的共域。如果 b 是函数f 分配给 A 元素 a 的唯一 B 元素，则写为 f(a) = b。 f 将 A 映射到 B。表示 f 是从 A 到 B 的函数，它写为$f:A\rightarrow B$

与功能相关的术语：

• 域和共域——如果 f 是从集合 A 到集合 B 的函数，则 A 称为域，B 称为共域。
• 范围——f 的范围是 A 元素的所有图像的集合。基本上范围是共域的子集。
• 图像和前图像——如果 f(a) = b，b 是 a 的图像，a 是 b 的前图像。

函数特性：

1. 加法和乘法：设 f1 和 f2 是从 A 到 B 的两个函数，那么 f1 + f2 和 f1.f2 定义为-：
   f1+f2(x) = f1(x) + f2(x)。 (添加)
   f1f2(x) = f1(x) f2(x)。 (乘法)
2. 相等性：两个函数只有在域相同、共域相同、域到共域的映射元素相同时才相等。

函数类型：

1. 一对一函数(射)：一个函数被调用一对一的，如果在A中的所有元素A和B，如果f(A)= F(b)中，那么它必须是这样的情况A = B。它永远不会将其域的不同元素映射到其co-domain的相同元素。
   

   我们可以使用量词表示 f 是一对一的$\forall a\forall b(f(a)\doteq f(b)\rightarrow a= b)$或等效地$\forall a \forall b(a\neq b\rightarrow f(a)\neq f(b))$ ，其中话语领域是函数的域。

2. Onto 函数 (满射)：如果 B 中的每个元素 b 在 A 中都有一个对应的元素 a，使得 f(a) = b。不需要 a 是唯一的；函数f 可以将 A 的一个或多个元素映射到 B 的相同元素。
   
3. 一对一对应函数(Bijective/Invertible)：如果一个函数既是一对一函数又是 on函数，那么它就是双射函数。

   

4. 反函数：双射函数也称为可逆函数，因为它们具有反函数特性。双射 f 的逆表示为 f ^-1 。它是一个分配给 b 的函数，一个唯一元素 a 使得 f(a) = b。因此 f ^-1 (b) = a。

一些有用的功能 -：

严格递增和严格递减函数：当 x>y 时，如果 f(x) > f(y)，函数f 是严格递增的。当 x

递增函数和递减函数：当 x>y 时，如果 f(x) ≥ f(y)，则函数f 递增。当 x

函数组成：设G是从B中的函数，以C和F是从A到B的函数，f和g的组合物，其被表示为雾的(a)= F(G(A))。

函数组合的特性：

1. 雾≠gof
2. f ^-1 of = f ^-1 (f(a)) = f ^-1 (b) = a。
3. fof ^-1 = f(f ^-1 (b)) = f(a) = b。
4. 如果 f 和 g 都是一对一的函数，那么雾也是一对一的。
5. 如果 f 和 g 都在函数，那么雾也到了。
6. 如果 f 和fog 都是一对一的函数，那么g 也是一对一的。
7. 如果 f 和fog 在上，则g 也不必在上。
8. (雾) ^-1 = g ^-1 of ^-1

一些要点：

1. 如果函数严格递增或严格递减，则该函数是一对一的。
2. 一对一函数永远不会为两个不同的域元素分配相同的值。
3. 对于 on函数，range 和 co-domain 是相等的。
4. 如果函数f 不是双射的，则不能定义 f 的反函数。