令 G 为任意连接、加权、无向图：
- I.如果 G 的两条边没有相同的权重，则 G 具有唯一的最小生成树。
- 二、 G 有一个唯一的最小生成树，如果对于每个切割 G，都有一个唯一的最小权重边穿过该切割。
以上两种说法中哪一种是正确的?
(A)既不是 I 也不是 II
(B)我只
(C)仅 II
(D) I 和 II答案： (D)
说明：语句 (I) 总是正确的，因为对于最小生成树，您只需要 (n-1) 条具有 n 个节点图的边。您可以使用 Krushkal 算法证明除了第一个 (n-1) 个较轻的 wight 边缘之外，不会有任何其他边缘选择。
请注意，陈述 (I) 的逆命题也是正确的。陈述(II)也是正确的。假设 MST 不是唯一的，即存在 T1 和 T2，它们都是 MST 并且它们不相同。假设 e1 ∈ T1 但 e1 ∉ T2，如果我们从 T1 中移除 e1，那么我们将有两个顶点集为 V1 和 V2 的树。通过 HW #2 的问题 1，我们知道 e1 是 V1 和 V2 之间的切割中的最小成本边。现在考虑 T2，同样是 HW #2 的问题 1，我们知道 T2 包含一条边 e2，它是 V1 和 V2 之间切割的最小成本边。然而，由于 e2 ≠ e1，我们必须有： c(e1) = c(e2) 这与对于图的每个切割，在该切割中具有最小成本的边是唯一的假设相矛盾。
请注意，陈述 (II) 的逆命题可能为真。
所以，选项(D)是正确的。
这个问题的测验