门 | GATE CS 2021 |设置 1 |第 47 题简介

这是一道来自GATE2021计算机科学考试题目，涉及逻辑电路中的门电路。本题需要基本的门电路知识，例如AND、NAND、OR、NOR、XOR、XNOR等门电路的真值表及其功能特征。此外，还需要了解Karnaugh图的基本原理及应用，以及使用Karnaugh图求最小项式的方法。

问题描述

给定以下布尔表达式：

P = (A ∨ B) ∧ (¬A ∨ C) ∧ (¬B ∨ ¬C ∨ D)

其中A、B、C和D均为布尔变量。实现该布尔表达式的逻辑电路。此外，通过Karnaugh图，求出该布尔表达式的最小项式。

解题思路

基本门电路

从布尔表达式中可以看出，需要使用OR、AND和NOT门电路。例如：

• (A ∨ B) 可以使用OR门电路实现；
• (¬A ∨ C) 可以使用NOT、AND、OR门电路实现；
• (¬B ∨ ¬C ∨ D) 可以使用NOT、OR门电路实现。

在这里，我们可以使用NAND门和NOT门进行组合，得到AND门和OR门电路。例如：

• NOT门电路可以使用一个NAND门实现，如下所示：

NOT(A) = A NAND A

• AND门电路可以使用两个NOT和一个NAND门实现，如下所示：

A AND B = NOT(NOT(A) OR NOT(B))
        = (A NAND A) NAND (B NAND B)

• OR门电路可以使用两个NOT和一个NAND门实现，如下所示：

A OR B = NOT(NOT(A) AND NOT(B))
       = (A NAND B) NAND (A NAND B)

Karnaugh图

Karnaugh图是一种用于化简布尔表达式的图形方法，旨在通过将变量的值以格子的方式进行显示，从而能够更加直观地找出最小项式。例如，对于4个布尔变量的布尔表达式，其对应的Karnaugh图如下所示：

  | AB\CD | 00 | 01 | 11 | 10 |
  | ----- | -- | -- | -- | -- |
  | 00    |    |    |    |    |
  | 01    |    |    |    |    |
  | 11    |    |    |    |    |
  | 10    |    |    |    |    |

对于每个格子，用1表示该布尔变量为真，用0表示该布尔变量为假。然后，对于相邻的格子，将它们的值放在同一行或同一列上，使得它们的值只有一个需要取反的地方。最后，将它们合并即可得到最小项式。

代码实现

逻辑电路代码

我们可以使用NAND门和NOT门组合来实现AND门和OR门电路。

ans1 = not_(
    nand_(
        nand_(a, a),
        nand_(b, b)
    )
)

ans2 = nand_(
    nand_(a, b),
    nand_(a, b)
)

ans3 = nand_(
    nand_(not_(b), not_(c)),
    nand_(not_(c), d)
)

result = and_(ans1, and_(ans2, ans3))

其中，not_表示NOT门，nand_表示NAND门，and_表示AND门。

Karnaugh图代码

对于本题提供的布尔表达式，其Karnaugh图如下所示：

  | BC\AD | 00 | 01 | 11 | 10 |
  | ----- | -- | -- | -- | -- |
  | 00    |  0 |  1 |  0 |  1 |
  | 01    |  0 |  0 |  1 |  0 |
  | 11    |  1 |  0 |  1 |  1 |
  | 10    |  0 |  1 |  0 |  1 |

根据Karnaugh图的方法，可以将其化简为以下最小项式：

P = ¬A ∧ ¬B ∧ ¬C ∨ ¬A ∧ ¬B ∧ D ∨ A ∧ ¬C

这个最小项式可以通过以下代码实现：

P = not_(a) & not_(b) & not_(c) | not_(a) & not_(b) & d | a & not_(c)