在一个群 (G,*) 中有两个元素 x, y，使得该群中的每个元素都可以写成一些 x 和 y 以某种顺序的乘积。众所周知
x ∗ x = y ∗ y = x ∗ y ∗ x ∗ y = y ∗ x ∗ y ∗ x = e其中 e 是单位元素。此类群中元素的最大数目为__________。
(一) 2
(乙) 3
(三) 4
(四) 5答案： (C)
解释：
x * x = e, x is its own inverse
y * y = e, y is its own inverse
(x*y) * (x* y) = e, x*y is its own inverse
(y*x) * (y*x) = e, y*x is its own inverse
also x*x*e = e*e can be rewritten as follows
x*y*y*x = e*y*y*e = e, (Since y *y = e)
(x*y) * (y*x) = e shows that (x *y) and (y *x)
are each other’s inverse and we already know that
(x*y) and (y*x) are inverse of its own.
As per (G,*) to be group any element should have
only one inverse element (unique)
This implies x*y = y*x (is one element)
So the elements of such group are 4 which are
{x, y, e, x*y}.请参阅维基百科中组的以下定义。
群是一个集合 G，连同一个操作 •(称为 G 的群定律)，它把任意两个元素 a 和 b 组合成另一个元素，表示为 a • b 或 ab。要成为一个群，集合和运算 (G, •) 必须满足称为群公理的四个要求：[5]
闭包对于G中的所有a、b，运算的结果a•b也在Gb[›]中
结合性对于 G 中的所有 a、b 和 c，(a • b) • c = a • (b • c)。
标识元素G 中存在一个元素 e，因此对于 G 中的每个元素 a，方程 e • a = a • e = a 成立。这样的元素是唯一的(见下文)，因此人们称其为身份元素。
逆元素对于 G 中的每个 a，G 中都存在一个元素 b，使得 a • b = b • a = e，其中 e 是单位元素。
来源：https://en.wikipedia.org/wiki/Group_%28mathematics%29
这个问题的测验