门 | GATE-CS-2014-(Set-1)|问题6

这是一个考查图论思想的问题。在本文中，我们将介绍问题的背景、问题描述和解决方案。我们还将提供一个用于解决这个问题的Python代码片段，并对代码的每个部分进行解释。

问题背景

在计算机科学中，图是一种由节点和边组成的数据结构。节点通常表示对象，而边表示这些对象之间的关系。图的应用非常广泛，包括网络路由、社交网络分析、语言处理、计算机图形学等诸多领域。

问题描述

给定一个有向无环图（DAG）和两个节点$s$和$t$，求从$s$到$t$的所有路径中最长路径的长度。我们假设该图以邻接表的形式表示，其中每个节点都用一个整数表示。该列表中的每个项都是一个由两个元素组成的元组，即出边的目标节点和该边的权重。

例如，以下代码段给出了一个表示图的邻接表：

graph = {
    1: [(2, 2), (3, 3)],
    2: [(4, 4)],
    3: [(4, 5)],
    4: [(5, 1)],
    6: [(4, 1)]
}

上面的邻接表表示了以下有向无环图：

1 -> 2 (2)
  -> 3 (3)
2 -> 4 (4)
3 -> 4 (5)
4 -> 5 (1)
6 -> 4 (1)

下面是我们的输入和输出：

输入：

• graph：一个邻接表，用于表示有向无环图。其中$graph[i]$是一个列表，表示节点$i$的出边。列表中的每一项都是一个元组，其中第一个元素是目标节点的编号，第二个元素是边的权重。
• s：一个整数，表示起点。
• t：一个整数，表示终点。

输出：

• 一个整数，表示所有从$s$到$t$的路径中最长路径的长度。如果不存在从$s$到$t$的路径，则输出$-\infty$。

解决方案

这个问题可以通过拓扑排序和动态规划来解决。拓扑排序是一种对有向无环图进行排序的算法。对于一个有向无环图，拓扑排序将节点排序为线性序列，使每个节点只出现在其前面节点的前面。也就是说，如果有一条从$i$到$j$的边，则$i$一定在$j$的前面。

考虑一个从$s$到$t$的有向路径。由于该路径不包含环路，因此拓扑排序总是能够按顺序排列节点。现在将所有节点按照它们在拓扑排序中出现的顺序标记为$1,2,...,n$。我们的目标是找到从$s$到$t$的所有路径中最长路径的长度。

我们定义一个数组$dist$，其中$dist[i]$表示从$s$到$i$的最长路径的长度。对于源节点$s$，我们将其$dist$设为$0$。现在考虑一个节点$i$和它的出边$(i,j)$。根据定义，$dist[j]\geq dist[i]+w(i,j)$，其中$w(i,j)$是从$i$到$j$的边的权重。换句话说，$dist[j]$是从$s$到$j$的最长路径的长度（如果顺便经过了$i$）。

由此，我们可以给出以下动态规划转换方程式：

$$dist[j]\leftarrow \max{dist[j],dist[i]+w(i,j)}$$

最后，$dist[t]$将包含从$s$到$t$的所有路径中最长路径的长度。

下面是Python代码片段：

def longest_path_dag(graph, s, t):
    # 拓扑排序
    visited = set()
    topo_order = []

    def dfs_topo(i):
        visited.add(i)
        for (j, _) in graph.get(i, []):
            if j not in visited:
                dfs_topo(j)
        topo_order.append(i)

    dfs_topo(s)
    topo_order.reverse()

    # 动态规划计算最长路径
    dist = {i: float('-inf') for i in graph}
    dist[s] = 0

    for i in topo_order:
        for (j, w) in graph.get(i, []):
            dist[j] = max(dist[j], dist[i] + w)

    return dist[t] if dist[t] != float('-inf') else float('-inf')

代码分为两个部分。第一部分使用深度优先搜索进行拓扑排序，第二部分使用动态规划计算最长路径。下面我们逐个解释它们。

首先是拓扑排序部分。我们使用深度优先搜索遍历整个图。由于这是一个有向图，并且不存在环，因此可以确保每个节点只被遍历一次。我们使用$visited$集合来记录哪些节点已经被遍历。每当我们完成对节点$i$的DFS遍历时，我们将$i$添加到$topo_order$列表的末尾。在遍历完所有节点之后，我们将$topo_order$列表反转。

接下来是动态规划部分。我们使用字典$dist$来存储从$s$到每个节点的最长路径。我们将所有节点的初始距离都设为负无穷。现在我们按照拓扑排序的逆序遍历每个节点$i$。对于$i$的每个出边$(i,j)$，我们使用动态规划转移方程式进行更新。注意，我们必须首先检查$j$的当前最长路径，否则我们可能会在更新之前将其设置为$-\infty$，而这可能会导致错误的结果。

最后，我们检查$t$节点的距离。如果它不是$-\infty$，则返回它；否则，返回$-\infty$。

这就是我们的解决方案！现在，您应该已经理解了如何使用拓扑排序和动态规划找到从$s$到$t$的最长路径。