数学 |图同构和连通性

同构：

考虑以下两张图——

是图表吗$G$和$G^{\prime}$相同?

如果您的答案是否定的，那么您需要重新考虑。顶点和边的图形排列使它们看起来不同，但它们是相同的图形。还要注意图形$G^{\prime}$是一个循环，具体来说$C_{5}$ .要了解循环图，请阅读图论基础。

正式地，
“简单的图表$G_{1} = (V_{1}, E_{1})$和$G_{2} = (V_{2}, E_{2})$如果存在双射函数，则是同构的$f$从$V1$到$V2$与财产$a$和$b$相邻于$G_{1}$当且仅当$f(a)$和$f(b)$相邻于$G_{2}\:\forall a,b \in V_{1}$ 。”

示例：显示图形$G$和$G^{\prime}$上面提到的是同构的。

解决方案：让$f$是一个双射函数，从$V$到$V^{\prime}$ .
让图之间的对应关系为-
$v1^{\prime} = f(v1)$
$v2^{\prime} = f(v5)$
$v3^{\prime} = f(v3)$
$v4^{\prime} = f(v4)$
$v5^{\prime} = f(v2)$
上述对应关系保持邻接为-
$v1$与$v2$和$v3$在$G$ ， 和
$f(v1) = v1^{\prime}$与$f(v2) = v5$和$f(v3) = v3$在$G^{\prime}$
类似地，可以证明所有顶点都保留了邻接关系。
因此， $G$和$G^{\prime}$是同构的。

由于图很小，证明上述图是同构的很容易，但通常很难确定两个简单的图是否同构。这是因为有$n!$两个简单图的顶点集之间可能的双射函数$n$顶点。对于较大的 n 值，测试每个函数的对应关系是不切实际的。
尽管有时不难判断两个图是否同构。为了证明给定的图不是同构的，我们可以找出一个图的特征而不是另一个图的一些特性。如果它们是同构的，那么该属性将被保留，但由于它不是，所以图不是同构的。
这种由同构保留的属性称为图不变性。

一些图不变量包括顶点数、边数、顶点度数和循环长度等。

你可以说给定的图是同构的，如果它们有：
1. 顶点数相等。
2. 边数相等。
3. 同度序列
4. 相同数量的特定长度的电路

在大多数图表中，检查前三个条件就足够了。

重要说明：图的互补图具有相同的顶点，并且在任何两个顶点之间都有边，当且仅当原始图中它们之间没有边。因此，一个图$G$如果图和它的补是同构的，则称它是自补的。

连通性：

可以通过图解决的大多数问题都涉及寻找最佳路径、距离或其他类似信息。几乎所有这些问题都涉及寻找图节点之间的路径。

路径——有长度的路径$n$从$u$到$v$是一个序列$n$边缘$e_{1},...,e_{n}$以至于$e_{1}$与….关联$\{x_{0}, x_{1}\}$ ，依此类推$e_{n}$有关联$\{x_{n-1}, x_{n}\}$ ， 在哪里$x_{0} = u$和$x_{n} = v$ .

注意：如果一条路径在同一顶点开始和结束，则称为回路。它也被称为循环。

图的连通性是一个重要方面，因为它衡量了图的弹性。
“如果无向图的每对不同顶点之间存在路径，则称无向图是连通的。”

Connected Component – 图的连接组件$G$是一个连通子图$G$不是另一个连通子图的真子图$G$ .

例如，在下图中，图形$G_{1}$是连通的和图$G_{2}$已断开连接。自从$G_{1}$是连通的，只有一个连通分量。
但是在这种情况下$G_{2}$有三个连接的组件。

如果图形是有向的，则必须稍微改变连通性的概念。这是因为边缘具有的方向。

正式地，
“有向图被认为是强连接，如果有从一个路径$a$到$b$和$b$到$a$在哪里$a$和$b$是图中的顶点。如果底层无向图是连通的，则该图是弱连通的。”

强连通分量——
类似于无向图中的连通分量，强连通分量是有向图的子图，不包含在另一个强连通分量中。

衔接点——

删除一个顶点和所有与它相关的边可能会导致子图的连通分量比原始图多。这样的顶点称为关节点或切割顶点。
与切割顶点类似的是切割边，去除边会导致子图具有更多连接的组件。切边也称为桥接。

割集——在连通图中$G$ ，割集是一组边，当从$G$树叶$G$断开连接，前提是这些边没有合适的子集断开连接$G$ .

路径和同构 –

有时即使两个图不是同构的，它们的图不变量——顶点数、边数和顶点度数都匹配。在这种情况下，路径和电路可以帮助区分图形。

• 示例 –下面显示的两个图是否同构?
  
• 解——两个图都有 6 个顶点，9 个边，度数序列相同。然而，第二个图有一个长度为 3 的回路，第一个图中任何回路的最小长度为 4。因此给定的图不是同构的。

GATE CS 角问题

练习以下问题将帮助您测试您的知识。所有问题都在往年的 GATE 或 GATE Mock Tests 中提出。强烈建议您练习它们。

1. GATE CS 2013，问题 24
2. GATE CS 2012，问题 26
3. GATE CS 2012，问题 38
4. GATE CS 2014 Set-1，问题 13
5. GATE CS 2014 Set-2，问题 61
6. GATE CS 2015 Set-2，问题 38
7. GATE CS 2015 Set-2，问题 60

参考-

图同构 – 维基百科
图连接 – 维基百科
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen