子图同构问题：我们有两个无向图 G 1和 G 2 。问题是检查 G 1是否与 G 2的子图同构。
图同构：如果两个图 A 和 B 具有相同的顶点和边数，则它们彼此同构，并且保持边连通性。图 A 和 B 的顶点集之间存在双射。因此，两个顶点 u, v 在 A 中彼此相邻当且仅当 f(u), f(v) 在 B 中相邻（f 是 a双射）。
为了证明一个问题是 NP-Complete，我们必须证明它属于 NP 和 NP-Hard 类。 （因为 NP-Complete 问题是 NP-Hard 问题，也属于 NP） 
子图同构问题属于 NP——如果一个问题属于 NP 类，那么它应该具有多项式时间可验证性。给定证书，我们应该能够在多项式时间内验证它是否是问题的解决方案。
证明：
- 证明：令 G 为 G 2的子图。我们也知道 G 1和 G 的顶点之间的映射。
- 验证：我们必须检查 G 1是否与 G 同构。 (i) 检查映射是否是双射 (ii) 验证对于 G 1 中的每条边 (u, v) 是否存在 G 中存在的边 (f(u), f(v)) 花费多项式时间.
因此，子图同构问题具有多项式时间可验证性，属于NP类。
子图同构问题属于 NP-Hard –如果每个 NP 问题在多项式时间内都可以归约为 L，则问题 L 属于 NP-Hard。为了证明子图同构问题 (S) 是 NP-Hard 问题，我们尝试将已知的 NP-Hard 问题简化为特定实例的 S。如果这种减少在多项式时间内是可能的，那么 S 也是一个 NP-Hard 问题。因此，让我们将 NP-Complete 的 Clique Decision Problem (C)（因此，NP 中的所有问题都可以在多项式时间内简化为 C）到子图同构问题。如果这种减少在多项式时间内是可能的，那么每个 NP 问题都可以在多项式时间内减少到 S，从而证明 S 是 NP-Hard。
证明：让我们证明集团决策问题在多项式时间内简化为子图同构问题。
让 Clique Decision Problem 的输入为 (G, k)。如果图 G 包含大小为 k 的团（大小为 k 的团是 G 的子图），则输出为真。设 G1 是 k 个顶点的完整图，G 2是 G，其中 G 1 、G 2是子图同构问题的输入。我们观察到 k <=n，其中 n 是 G (=G 2 ) 中的顶点数。如果 k>n，那么大小为 k 的团不能是 G 的子图。创建 G 1所花费的时间是 O(k 2 ) = O(n 2 ) [因为 k<=n] 作为大小为 k = k C 2 = k*(k-1)/2 的完整图。 G 有一个大小为 k 的团，当且仅当 G1 是 G 2的子图（因为 G 1本身是 G 2的子图并且每个图都与自身同构，所以子图同构问题的结果为真。因此， G 1与G 2的子图同构。因此，如果集团决策问题为真，则子图同构问题为真，反之亦然。因此，对于特定实例，可以在多项式时间内将集团决策问题简化为子图同构问题。
因此，子图同构问题是一个 NP-Hard 问题
结论：
子图同构问题是 NP 和 NP-Hard。因此，子图同构问题是 NP-Complete 。
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