证明子图同构问题是NP完全的

子图同构问题：我们有两个无向图G ₁和G ₂ 。问题在于检查G _{1是否与G 2}的子图同构。

图同构：两个图A和B如果顶点和边的数目相同，则彼此同构，并且保留了边的连通性。在图A和B的顶点集之间存在双射。因此，当且仅当f(u)，f(v)在B中相邻时，两个顶点u，v在A中彼此相邻(f是a双射)。

为了证明问题是NP-完全的，我们必须证明它属于NP和NP-Hard类。 (由于NP-完全问题是NP-Hard问题，也属于NP)

子图同构问题属于NP –如果问题属于NP类，则它应具有多项式时间可验证性。给定证书，我们应该能够在多项式时间内验证它是否可以解决问题。

证明：

1. 证明：设G为G ₂的子图。_{我们也知道G 1}和G的顶点之间的映射。
2. 验证：我们必须检查G ₁是否与G同构。 (i)检查映射是否为双射，并且(ii)验证G _1中每个边(u，v)是否存在边(f(u)，f(v))花费多项式时间。

因此，子图同构问题具有多项式时间可验证性，并且属于NP类。

子图同构问题属于NP-Hard –如果在多项式时间内每个NP问题都可简化为L，则问题L属于NP-Hard。为了证明子图同构问题(S)是NP-Hard，我们尝试将特定实例的已知NP-Hard问题简化为S。如果可以在多项式时间内进行这种减少，那么S也是NP-Hard问题。因此，让我们将NP完成的集团决策问题(C)简化为子图同构问题(因此，NP中的所有问题都可以在多项式时间内简化为C)。如果可以在多项式时间内进行这种缩减，则可以将每个NP问题在多项式时间内简化为S，从而证明S为NP-Hard。

证明：让我们证明集团决策问题在多项式时间内归结为子图同构问题。

让“派系决策问题”的输入为(G，k)。如果图G包含大小为k的集团(大小为k的集团是G的子图)，则输出为true。令G1是k个顶点的完整图，而G ₂是G，其中G ₁ ，G ₂是子图同构问题的输入。我们观察到k <= n，其中n是G(= G ₂ )中的顶点数。如果k> n，则大小为k的集团不能是G的子图。创建G ₁所花费的时间为O(k ² )= O(n ² )[因为k <= n]作为边的数量大小为k = ^k C ₂ = k *(k-1)/ 2的完整图。如果且仅当G1是G _2的一个子图时(因为G _{1本身是G 2的}一个子图，并且每个图都是同构的，所以G的大小为k)，因此子图同构问题的结果为真。 G _{1与G 2}的子图同构。因此，如果集团决策问题为真，则子图同构问题为真，反之亦然。因此，对于特定实例，可以在多项式时间内将集团决策问题简化为子图同构问题。

因此，子图同构问题是NP-Hard问题

结论：
子图同构问题是NP和NP-Hard。因此，子图同构问题是NP-Complete 。