NPDA 接受语言 L = {aibjckdl | i==k 或 j==l,i>=1,j>=1}

先决条件——下推自动机，下推自动机被最终状态接受
问题 –设计一个非确定性的 PDA 来接受语言 L = { $a^i$$b^j$$c^k$$d^l$ : i==k 或 j==l, i>=1, j>=1}, 即

L = {abcd, aabccd, aaabcccd, abbcdd, aabbccdd, aabbbccddd, ......} 

在每个字符串，a 的数量后跟任意数量的 b，b 后跟 c 的数量等于 a 的数量，c 的数量后跟 d 的数量等于 b 的数量。

解释 –
在这里，我们需要保持a’s，b’s，c’s和d’s的顺序。也就是说，所有的a先来，然后所有的b来，然后所有的c来，然后所有的d来。因此，我们需要一个堆栈和状态图。 a 和 b 的计数由堆栈维护。我们将采用 2 个堆栈字母表：

$\Gamma$ = { a, b, c, d, z }

在哪里，
$\Gamma$ = 所有堆栈字母的集合
z = 堆栈起始符号

用于构建PDA的方法 –
在设计 NPDA 时，对于每个 a’、’b’、’c’ 和 ‘d’ 都将按正确的顺序出现。

• 对于 i==k ：每当 ‘a’ 出现时，将其压入堆栈，如果 ‘a’ 再次出现则将其压入堆栈。之后，如果 ‘b’ 出现，则不进行任何操作。之后，当’c’出现时，每次都从堆栈中弹出’a’。之后，如果’d’出现，则不做任何操作。
• 对于 j==l ：每当 ‘a’ 来时，不做任何操作。之后，如果 ‘b’ 来将其压入堆栈，如果 ‘b’ 再次出现则也将其压入堆栈。之后，当’c’出现时不做任何操作。之后，如果’d’出现则每次都从堆栈中弹出’b’。

这样栈就变空了。如果栈是空的，那么我们就可以说这个字符串被PDA接受了。

堆栈转换函数 –

$\delta$ (q0, a, z) $\vdash$ (q1, az) $\delta$ (q0, a, z) $\vdash$ (q3, z) $\delta$ (q1, a, a) $\vdash$ (q1, aa) $\delta$ (q1, b, a) $\vdash$ (q1, a) $\delta$ (q1, c, a) $\vdash$ (q2, $\epsilon$ ) $\delta$ (q2, c, a) $\vdash$ (q2, $\epsilon$ ) $\delta$ (q2, d, $\epsilon$ ) $\vdash$ (q2, $\epsilon$ ) $\delta$ (q2, $\epsilon$ , z) $\vdash$ (qf1, z) $\delta$ (q3 a, z) $\vdash$ (q3, z) $\delta$ (q3 b, z) $\vdash$ (q3, bz) $\delta$ (q3 b, b) $\vdash$ (q3, bb) $\delta$ (q3 c, b) $\vdash$ (q3, b) $\delta$ (q3, d, b) $\vdash$ (q4, $\epsilon$ ) $\delta$ (q4, d, b) $\vdash$ (q4, $\epsilon$ ) $\delta$ (q4, $\epsilon$ , z) $\vdash$ (qf2, z)

其中，q0 = 初始状态
qf1, qf2 = 最终状态
$\epsilon$ = 表示弹出操作

所以，这是我们接受语言 L ={ 所需的非确定性 PDA $a^i$$b^j$$c^k$$d^l$ : i==k 或 j==l, i>=1, j>=1}。