数学 |广义 PnC 集 1

先决条件 – PnC 和二项式系数

到目前为止，之前文章中讨论的每个问题都有一组不同的元素，但有时问题可能涉及元素的重复使用。本文涵盖了此类问题，其中集合的元素不可区分(或相同或不不同)。

重复排列——

使用乘积规则可以轻松完成元素重复时的排列计数。
示例，长度字符串的数量$r$是$26^r$ ，因为对于每个字符都有 26 种可能性。

的数量$r$ – 一组的排列$n$有重复的对象是$n^r$ .

与重复的组合——

计算重复组合的数量比计算排列要复杂一些。考虑一组$n$对象的类型，我们需要找出有多少种方法可以$r$元素进行选择。
为了解决上述问题，我们首先来看一个类似的问题，即排列条形(|)和星形(*)。假设有 5 个酒吧和 3 颗星。一种可能的安排是——

||*||**|

他们可以安排在$\frac{8!}{5!3!} = C(8,3) = C(8,5)$方法。
我们原来的问题类似于上面的问题。条形表示元素类型之间的划分，使得每种类型由一个条形分隔，星数为$r$ .
如果星星在第 n 个小节之前，则意味着选择了第 n 个类型的项目，除了最后一个类型的星星可以在小节之后。例如，上面提到的排列 ||*||**| 表示选择 1 个第 3 类元素和 2 个第 5 类元素。
这样我们的原始问题可以被认为是安排$r$星星(元素)和$(n-1)$酒吧(部门)。上面的结果可以概括为——

有$C(r+n-1,r) = C(r+n-1,n-1)$$r$ – 来自一组的组合$n$允许重复时的元素。

• 示例 1 –从 6 种可能的饮品类型中，可以通过多少种方式选择 4 种饮品?可以选择的一种类型的饮料没有数量限制，相同类型的饮料是无法区分的。
• 解决方案 –上述场景是寻找重复组合的直接应用。所以4组合的数量是—— $C(6-1+4,4) = C(9,4) = 126$ .
• 示例 2 –方程有多少个解$x_1+x_2+x_3=11$有，哪里$x_1, x_2,\:and\:x_2$是非负整数吗?
• 解决方案 – $x_1, x_2,\:and\:x_2$可以有从 0 到 11 的值。这种情况类似于找到 3 类对象的 11 种组合。
  所以解决方案的数量是—— $C(3-1+11,11) = C(13,11) = C(13,2) = 78$
• 示例 3 –考虑与示例 2 相同的问题，但具有附加约束，即$x_1 \geq 1$ .
• 解决方案 –由于最小值$x_1$为 1，有效方程变为$x_1+x_2+x_3=10$ .所以解决方案的数量是- $C(3-1+10,10) = C(12,10) = C(12,2) = 66$
• 示例 4 –考虑与示例 2 相同的问题，但具有附加约束，即$x_1 < 2$ .
• 解——由于约束不是下限而是上限，所以不能像例 3 那样求解。还有另一种方法可以解决此类问题。
  对于每种类型的对象，我们分配一个多项式的形式 – $x^{ll} + x^{ll+1} +...+ x^{ul}$ ，其中 ‘ll’ 和 ‘ul’ 是该类型对象的下限和上限。
  然后所有这些多项式相乘，系数$x^r$是数量$r$ – 组合。
  在我们的例子中，只有在$x_1$ .因此它的多项式是-
  $x^0 + x^1$
  多项式为$x_2$和$x_3$是-
  $x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+x^9+x^{10}+x^{11}$
  由于多项式相乘可能很乏味，我们使用了一个使用二项式定理的技巧。
  上述多项式可以扩展为无限级数，因为高阶项不会产生任何区别，因为我们只是在寻找系数$x^{11}$ .
  所以多项式为$x_2$和$x_3$是-
  $x^0+x^1+x^2+x^3+...+x^{11}+...$
  上述多项式也是对$(1-x)^{-1}$ .
  乘以多项式，我们得到 –
  $(1+x)*\frac{1}{(1-x)^2}$
  $\frac{1}{(1-x)^2}$可以通过负指数的二项式定理展开。我们不需要展开完整的多项式，因为我们只需要这些项$x^{11}$和$x^{10}$ ，因为它们将乘以 1 和$x$获得条款$x^{11}$ .
  $\frac{1}{(1+x)^n} = \sum_{k=0}^{\infty} \binom{n+k-1}{k} (-1)^k x^k$ .
  为了$x^{10}$$k=10$ ，我们得到-
  $\binom{2 + 10 - 1}{10} (-1)^{10} (-x)^{10} = 11x^{10}$
  为了$x^{11}$$k=11$ ，我们得到-
  $\binom{2 + 11 - 1}{11} (-1)^{11} (-x)^{11} = 12x^{11}$
  将上述得到的项与$x$和 1 我们得到条款$x^{11}$ .把它们加起来我们得到- $23x^{11}$ .
  因此，给定方程有 23 个解。
• 示例 5 –考虑与示例 2 中相同的问题，但有一个不等式，即$x_1+x_2+x_3 \leq 11$ .
• 解决方案——我们可以通过两种方式解决这个问题。
  一种方法是将所有$r$ – 值的组合$r$从 0 到 11 即
  $x_1 + x_2 + x_3 = r$为了$0\leq r \leq11$ .我们得到以下值-
  为了$r$ = 0，方式 = C(3-1+0,2) = C(2,2) = 1
  为了$r$ = 1，方式 = C(3-1+1,2) = C(3,2) = 3
  为了$r$ = 2，方式 = C(3-1+2,2) = C(4,2) = 6
  为了$r$ = 3，方式 = C(3-1+3,2) = C(5,2) = 10
  为了$r$ = 4，方式 = C(3-1+4,2) = C(6,2) = 15
  为了$r$ = 5，方式 = C(3-1+5,2) = C(7,2) = 21
  为了$r$ = 6，方式 = C(3-1+6,2) = C(8,2) = 28
  为了$r$ = 7，方式 = C(3-1+7,2) = C(9,2) = 36
  为了$r$ = 8，方式 = C(3-1+8,2) = C(10,2) = 45
  为了$r$ = 9，方式 = C(3-1+9,2) = C(11,2) = 55
  为了$r$ = 10，方式 = C(3-1+10,2) = C(12,2) = 66
  为了$r$ = 11，方式 = C(3-1+11,2) = C(13,2) = 78
  解决方案总数 = 364
  上述问题与寻找方程的解数相同 –
  $x_1+x_2+x_3+x_4 = 11$
  额外的变量可以被认为是 11 和$(x_1+x_2+x_3)$ .
  什么时候$x_1+x_2+x_3$是 0， $x_4$是 11. 所以$x_4$相应地取值。
  而这个方程的解数是 – C(4-1+11,4-1) = C(14,3) = 364。

参考 –

排列组合
离散数学及其应用，Kenneth H Rosen