数学 | 广义 PnC 集 1

介绍

广义 PnC (Permutations and Combinations) 可以理解为对于一个集合中的 n 个元素，从中取出 m 个元素，共有多少种取法。这里的元素可以是不同的，也可以是相同的。

常见的 PnC 公式为：

$$ \begin{aligned} C_n^m &= \frac{n!}{m!(n-m)!} \ P_n^m &= \frac{n!}{(n-m)!} \end{aligned} $$

其中 $C_n^m$ 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的组合数， $P_n^m$ 表示从 n 个元素中取出 m 个元素的排列数。

但是，在现实生活中，有时候我们需要将这些元素划分成不同的组别，每个组别都可以取出其中的若干元素，这时候就需要用到广义 PnC。

定义

假设有 $k$ 个不同的集合 $S_1, S_2, \cdots, S_k$，对于第 $i$ 个集合 $S_i$，其中有 $n_i$ 个元素，那么从这 $k$ 个集合中各取出 $m_i (0 \leq m_i \leq n_i)$ 个元素，构成一个集合 $T$。

例如，假设有三个集合 $S_1 = {A, B}$，$S_2 = {C, D, E}$，$S_3 = {F, G}$，现在需要从这三个集合中分别取出 1, 2, 1 个元素，构成一个新的集合 $T$，那么 $T$ 可以有如下 ${2 \choose 1} \times {3 \choose 2} \times {2 \choose 1} = 12$ 种不同的取法（即每个集合选择哪些元素）：

• $(A, C, F)$
• $(A, C, G)$
• $(A, D, F)$
• $(A, D, G)$
• $(A, E, F)$
• $(A, E, G)$
• $(B, C, F)$
• $(B, C, G)$
• $(B, D, F)$
• $(B, D, G)$
• $(B, E, F)$
• $(B, E, G)$

符号表示法

我们可以用 $\langle m_i \rangle_{i=1}^k$ 来表示一个集合的取法：

$$ \langle m_i \rangle_{i=1}^k = {x_i \in S_i | x_i \text{的数量为} m_i} $$

例如，如果 $\langle m_1, m_2, m_3 \rangle = \langle 1, 2, 1 \rangle$，则表示从 $S_1, S_2, S_3$ 中分别取出 1, 2, 1 个元素。

命题

给定 $k$ 个集合 $S_1, S_2, \cdots, S_k$，对于第 $i$ 个集合 $S_i$，其中有 $n_i$ 个元素，从这 $k$ 个集合中分别取出 $m_i (0 \leq m_i \leq n_i)$ 个元素，共有多少种取法。

证明

考虑每个集合 $S_i$ 如何取数：

• 第 $i$ 个集合的第一个元素，有 $n_i$ 种取法；
• 第 $i$ 个集合的第二个元素，有 $n_i - m_i$ 种取法；
• 第 $i$ 个集合的第三个元素，有 $n_i - m_i - 1$ 种取法......
• 最后一个元素，有 $n_i - m_i - (k - i)$ 种取法。

所以，对于第 $i$ 个集合，一共有 ${n_i \choose m_i}$ 种取法。

最终，由于这 $k$ 个集合是互相独立的，所以总共的取法是它们的积：

$$ \prod_{i=1}^k {n_i \choose m_i} $$

这里的 ${n_i \choose m_i}$ 表示从 $S_i$ 中取出 $m_i$ 个元素的组合数。

应用

广义 PnC 在组合计数中有广泛的应用，比如：

• 可以用来计算相同元素个数的排列数，例如将 AABBCCDD 里的字母排成一个长度为 8 的字符串的总个数；
• 可以用来计算多重集合的排列数，例如从 AAABBCCCC 中取出 3 个元素，可以有多少种取法；
• 可以用来计算多重集合的组合数，例如从 AAABBCCCC 中取出 3 个元素，可以有多少种取法，且不考虑顺序。