群同构和自同构

先决条件 –组

同构：
对于两个群 ( G ,+) 和 ( G’ ,*) 映射f : G → G’ 被称为同构，如果

• f是一对一
• 网络上小号
• fi s同态即 f (a + b) = f( a) * f (b) ∀ a, b ∈ G。

简而言之，双射同态是同构。

同构群：
如果存在从群 (G,+) 到 (G’,*) 的同构。那么一个群 (G,+) 被称为同构于一个群 (G’,*)
写成 G ≅ G’ 。

例子 –

1. f(x)=log(x) 对于群 (R ⁺ ,*) 和 (R,+) 是群同构。
解释 –

• f(x)=f(y) => log(x)=log(y) => x=y ，所以 f 是一对一的。
• f(R ⁺ )=R ，所以 f 上。 $w$
• f(x*y)=log(x*y)=log(x)+log(y)=f(x)+f(y) ，所以 f 是同态。

2. f(x)=ax 对于组 (Z,+) 到 (aZ,+) ，其中 a 是任何非零编号。
解释 –

• f(x)=f(y) => ax=ay => x=y ，所以 f 是一对一的。
• f(Z)=aZ ，所以 f 在上。
• f(x + y) =ax + ay= f(x) + f(y)，所以 f 是同态。

3. 单位立方根群的函数f { $1,w,w^2$ } 与乘法运算是同构，将剩余类 mod(3) {{0},{1},{2}} 与剩余类 mod(3) 相加，使得 f(1)={0 }， F( $w$ )={1} 和 f( $w^2$ )={2}。

解释 –

• 显然，f 是对和一对一的。
• 还有 f(1* $w$ ) = f( $w$ ) = {1} = {0} + ₃ {1} = f(1)*f( $w$ )。
  F( $w$ * $w^2$ ) = f(1) = {0} = {1} + ₃ {2} = f( $w$ )*F( $w^2$ )。
  和 f( $w^2$ *1) = f( $w^2$ ) = {2}={2} + ₃ {0} = f( $w^2$ )*f(1)。所以 f 是同态的。
  所有这些都证明了 f 是两个所指群的同构。

4. f(x)=e ^x组 (R,+) 和 (R+,*) 其中 R+ 是一组正实数，x 是整数。

5.组 ({0,1,2,3},+ ₄ ) 和 ({2,3,4,1},+ ₅ ) 是同构的。

笔记 ：

1. 如果存在同态 f 形成群 (G,*) 到 (H,+) 。那么 f 也是一个同构当且仅当 Ker(f)={e} 。这里 e 是 (G,*) 的恒等式。
   此外，Ker(f) = 同胚 f 的核：(G,*) → (H,+) 是 G 中所有元素的集合，使得 H 中所有这些元素的图像是(H,+) 。
2. 如果两个群是同构的，那么两个群都是阿贝尔群，或者都不是。记住一个群是阿贝尔群，如果它是可交换的。
3. 一组同构群构成一个等价类，它们具有相同的结构，称为抽象相同。

自同构：
对于群 (G,+)，映射f : G → G 称为自同构，如果

• f是一对一。
• f 同态即f (a +b) = f (a) + f (b) ∀ a, b ∈ G。

例子 –

1. 对于任何群 (G,+) 一个恒等映射 I _g : G → G，使得 I _g (g)=g ，∀g ∈ G 是一个自同构。
说明-

• 好像 I(a)=I(b) => a=b 所以我是一对一的。
• 由于 I(a+b) =a+b =I(a)+I(b)，所以 I 也是同态。

2. f(x)=-x 组 (Z,+)。
说明-

• 好像 f(a)=f(b) => -a=-b => a=b 所以 f 是一对一的。
• 好像 f(a+b) =-(a+b) =(-a)+(-b) =f(a)+f(b)，所以 f 也是同态。

3. f(x)=axa ^-1对于一个群 (G,+) ∀a ∈ G。
说明——

• 因为 f(n)=f(m) => ana ^-1 = ama ^-1 => n = m 所以 f 是一对一的。
• 因为 f(n+m)= a(n+m)a ^-1 =ana ^-1 + ama ^-1 = f(n) + f(m)，所以 f 也是同义词。

4. f(z)= ${\displaystyle {\overline {z}}}$用于具有加法运算的复数组。
记住 f 是复共轭，如果 z=a+ib 则 f(z)= ${\displaystyle {\overline {z}}}$ = ${\displaystyle {\overline {a+ib}}}$ =a-ib。

5.f(x)=1/x 是群 (G,*) 的自同构，如果它是阿贝尔群。

笔记 ：

1. 一组所有自同构(函数)的集合，与作为二元运算的函数组合形成一个组。
2. 简单地说，如果域和范围相等，则同构也称为自同构。
3. 如果 f 是群 (G,+) 的自同构，则 (G,+) 是阿贝尔群。
4. 例如，我们看到的身份映射是对一个组的自同构，称为平凡自同构和其他非平凡的。
5. 自同构可以分为内自同构和外自同构。