📜  群同构和自同构

📅  最后修改于: 2021-09-28 10:59:45             🧑  作者: Mango

先决条件 –

同构:
对于两个群 ( G ,+) 和 ( G’ ,*) 映射f : G → G’ 被称为同构,如果

  • f一对一
  • 网络小号
  • fi s同态即 f (a + b) = f( a) * f (b) ∀ a, b ∈ G。

简而言之,双射同态是同构。

同构群:
如果存在从群 (G,+) 到 (G’,*) 的同构。那么一个群 (G,+) 被称为同构于一个群 (G’,*)
写成 G ≅ G’ 。

例子 –

1. f(x)=log(x) 对于群 (R + ,*) 和 (R,+) 是群同构。
解释 –

  • f(x)=f(y) => log(x)=log(y) => x=y ,所以 f 是一对一的。
  • f(R + )=R ,所以 f 上。 w
  • f(x*y)=log(x*y)=log(x)+log(y)=f(x)+f(y) ,所以 f 是同态。

2. f(x)=ax 对于组 (Z,+) 到 (aZ,+) ,其中 a 是任何非零编号。
解释 –

  • f(x)=f(y) => ax=ay => x=y ,所以 f 是一对一的。
  • f(Z)=aZ ,所以 f 在上。
  • f(x + y) =ax + ay= f(x) + f(y),所以 f 是同态。

3. 单位立方根群的函数f { 1,w,w^2 } 与乘法运算是同构,将剩余类 mod(3) {{0},{1},{2}} 与剩余类 mod(3) 相加,使得 f(1)={0 }, F( w )={1} 和 f( w^2 )={2}。

解释 –

  • 显然,f 是对和一对一的。
  • 还有 f(1* w ) = f( w ) = {1} = {0} + 3 {1} = f(1)*f( w )。
    F( w * w^2 ) = f(1) = {0} = {1} + 3 {2} = f( w )*F( w^2 )。
    和 f( w^2 *1) = f( w^2 ) = {2}={2} + 3 {0} = f( w^2 )*f(1)。所以 f 是同态的。
    所有这些都证明了 f 是两个所指群的同构。

4. f(x)=e x组 (R,+) 和 (R+,*) 其中 R+ 是一组正实数,x 是整数。

5.组 ({0,1,2,3},+ 4 ) 和 ({2,3,4,1},+ 5 ) 是同构的。

笔记 :

  1. 如果存在同态 f 形成群 (G,*) 到 (H,+) 。那么 f 也是一个同构当且仅当 Ker(f)={e} 。这里 e 是 (G,*) 的恒等式。
    此外,Ker(f) = 同胚 f 的核:(G,*) → (H,+) 是 G 中所有元素的集合,使得 H 中所有这些元素的图像是(H,+) 。
  2. 如果两个群是同构的,那么两个群都是阿贝尔群,或者都不是。记住一个群是阿贝尔群,如果它是可交换的。
  3. 一组同构群构成一个等价类,它们具有相同的结构,称为抽象相同。

自同构:
对于群 (G,+),映射f : G → G 称为自同构,如果

  • f一对一。
  • f 同态f (a +b) = f (a) + f (b) ∀ a, b ∈ G。

例子 –

1. 对于任何群 (G,+) 一个恒等映射 I g : G → G,使得 I g (g)=g ,∀g ∈ G 是一个自同构。
说明-

  • 好像 I(a)=I(b) => a=b 所以我是一对一的。
  • 由于 I(a+b) =a+b =I(a)+I(b),所以 I 也是同态。

2. f(x)=-x 组 (Z,+)。
说明-

  • 好像 f(a)=f(b) => -a=-b => a=b 所以 f 是一对一的。
  • 好像 f(a+b) =-(a+b) =(-a)+(-b) =f(a)+f(b),所以 f 也是同态。

3. f(x)=axa -1对于一个群 (G,+) ∀a ∈ G。
说明——

  • 因为 f(n)=f(m) => ana -1 = ama -1 => n = m 所以 f 是一对一的。
  • 因为 f(n+m)= a(n+m)a -1 =ana -1 + ama -1 = f(n) + f(m),所以 f 也是同义词。

4. f(z)= {\displaystyle {\overline {z}}}用于具有加法运算的复数组。
记住 f 是复共轭,如果 z=a+ib 则 f(z)= {\displaystyle {\overline {z}}} = {\displaystyle {\overline {a+ib}}} =a-ib。

5.f(x)=1/x 是群 (G,*) 的自同构,如果它是阿贝尔群。

笔记 :

  1. 一组所有自同构(函数)的集合,与作为二元运算的函数组合形成一个组。
  2. 简单地说,如果域和范围相等,则同构也称为自同构。
  3. 如果 f 是群 (G,+) 的自同构,则 (G,+) 是阿贝尔群。
  4. 例如,我们看到的身份映射是对一个组的自同构,称为平凡自同构和其他非平凡的。
  5. 自同构可以分为内自同构和外自同构。