图可以以具有相同数量的顶点，边以及相同的边连通性的不同形式存在。这样的图称为同构图。请注意，我们在本章中对图形进行标记主要是为了引用它们并相互识别它们。

同构图

如果–两个图G ₁和G ₂被称为同构

• 它们的分量数(顶点和边)相同。

• 它们的边缘连接性得以保留。

注意-简而言之，在两个同构图中，一个是另一个的调整后的版本。未标记的图也可以视为同构图。

There exists a function ‘f’ from vertices of G1 to vertices of G2
   [f: V(G1) ⇒ V(G2)], such that
Case (i): f is a bijection (both one-one and onto)
Case (ii): f preserves adjacency of vertices, i.e., if the edge {U, V} ∈ G1, then the
edge {f(U), f(V)} ∈ G2, then G1 ≡ G2.

注意

当G _1≡克_2-然后-

| V(G ₁ )| = | V(G ₂ )|

| E(G ₁ )| = | E(G ₂ )|

G ₁和G _2的度数序列相同。

如果顶点{V ₁ ，V ₂ ，.. Vk}在G _1中形成一个长度为K的周期，那么这些顶点{f(V ₁ )，f(V ₂ )，…f(Vk)}应该形成一个周期长度K在G _2中。

所有上述条件对于图G ₁和G ₂是同构都是必要的，但不足以证明这些图是同构的。

• (G _1≡克_2-)当且仅当(G ₁ – ≡克_2- – )，其中G ₁和G ₂是简单的曲线图。

• (G _1≡克_2-)如果G ₁和G ₂的邻接矩阵是相同的。

• (G _1≡克_2-)当且仅当G ₁和G ₂的相应子图(删去在G1一些顶点以及它们在图G ₂的图像获得的)是同构的。

例

以下哪个图形是同构的?

在图G _3中，顶点“ w”仅具有度3，而所有其他图顶点具有度2。因此，G3与G ₁或G ₂并非同构。

取G ₁和G _2的补码，您有-

这里，(G ₁ – ≡克_2- – )，因此(G _1≡克_2-)。

平面图

如果可以在平面或球体上绘制图形“ G”，则该图形“ G”被认为是平面的，因此没有两个边在非顶点处彼此交叉。

例

地区

每个平面图将平面划分为称为区域的连接区域。

例

有界区域的度数r = deg(r) =包围区域r的边数。

deg(1) = 3
deg(2) = 4
deg(3) = 4

deg(4) = 3
deg(5) = 8

无界区域的度数r = deg(r) =包围区域r的边数。

deg(R1) = 4
deg(R2) = 6

在平面图中，以下属性保持良好-

在具有’n’个顶点的平面图中，所有顶点的度和为-

根据地区/定理度的总和，在具有平面图形“N”的区域，区域的总和是度-

基于以上定理，您可以得出以下结论：

在平面图中

如果每个区域的度为K，则区域的度之和为-

如果每个区域的度数至少为K(≥K)，则

如果每个区域的度数最多为K(≤K)，则

注-假设所有区域的度数相同。

根据平面图上的欧拉公式，

如果图“ G”是连接的平面，则

如果平面图具有“ K”个分量，则

| V |是顶点数，| E |是边的数量，| R |是区域数。

边顶点不等式

如果“ G”是每个区域的度至少为“ K”的连通平面图，则，

| E | ≤k /(k-2){| v | -2}

| V | + | R | = | E | + 2

K. | R | ≤2 | E |

K(| E |–| V | + 2)≤2 | E |

(K-2)| E | ≤K(| V |-2)

| E | ≤k /(k-2){| v | -2}

如果“ G”是一个简单的连接平面图，则

|E| ≤ 3|V| − 6
|R| ≤ 2|V| − 4

至少存在一个顶点V•∈G，使得deg(V)≤5。

如果“ G”是简单的连接平面图(至少具有2条边)且没有三角形，则

|E| ≤ {2|V| – 4}

库拉托夫斯基定理

当且仅当’G’具有与K ₅或K _3,3同胚的子图时，图’G’是非平面的。

同态

如果两个图G ₁和G ₂是同构的，则可以通过将G的某些边划分为更多的顶点从相同的图’G’中获得每个图。看下面的例子-

通过添加一个顶点将边缘“ rs”划分为两个边缘。

下面显示的图形与第一个图形同构。

如果G ₁与G ₂同构，则G对G2同胚，但是反之则不必成立。

• 具有4个以下顶点的任何图形都是平面的。

• 任何具有8个以下边缘的图形是平面的。

• 当且仅当n≤4时，完整图K _n是平面的。

• 当且仅当m≤2或n≤2时，完整的二部图K _m，n是平面的。

• 具有最小顶点数的简单非平面图是完整图K ₅ 。

• 边数最少的简单非平面图是K _3，3 。

多面图

如果每个顶点的度数≥3，即deg(V)≥3∀V∈G，则简单的连接平面图称为多面图。

• 3 | V | ≤2 | E |

• 3 | R | ≤2 | E |