求复数 z = e ² + 4i 的实部和虚部

数字是指代表特定数量的单词或符号。只有在数字的帮助下才能执行多种算术运算，并且我们已经准备好在物理和算术领域进行大量开发。一个人的生活离不开数字，即使是最基本的杂务或任务。甚至换来商品的现金，也可能是用数字表示的某种价值。一堆数字组合在一起被用来分配一个人作为他们的联系号码，这就是数字在我们生活中的重要性。

数字类型

根据不同的特征和属性，有不同类型的数字。自然数、整数、整数、有理数、无理数等。我们来看看它们的定义，

• 自然数：用于计算某些物体的一组数字称为自然数。这样的一组数字从 1(one) 开始，一直持续到无穷大。需要注意的是，自然数只包括正整数。
• 整数：包含所有正整数和 0 的一组数字。
• 整数：整数本质上定义为一个整数，它至少会假设为正数、负数或没有值。
• 有理数：这些数可以用分数的形式表示。这些数字有一个终止的十进制扩展。
• 无理数：这样的数字不能表示为分数。
• 实数：此类数字包括有理数和无理数。

实数和虚数

这种既包括有理数又包括无理数的数称为实数。它们基于数轴的概念，零是原点，其右侧的所有数字为正数，原点左侧的所有数字为负数。

通常在求解二次方程时会发生这种情况，判别式在平方根下是一个负值。这听起来可能是不可能的，因为按照数学中的一般规则，负数的平方是正数，所以对于完美的平方或任何实数来说，就这一点而言，负数并完全在根之下是没有意义的.然而，数字也可以被描述为数学中负数的平方根。例如， $\sqrt{-100}$是一个虚数，因为它描述了数字 100，它是一个完全平方，是平方根下的负数。这些数字不是有形的，但在数学中使用的意义上仍然是真实的。换句话说，虚数是与实数相反的数字。它们不是基于数轴的概念，因此无法描绘或绘制在数轴上。定义虚数的另一种方式可以是这样的数，当它与自身相乘时，即平方时产生负结果。

表示没有平方根部分的虚数

一个虚数，当不使用根算术表达式编写时，可以写成一个实数乘以 iota，描绘为 i，它是一个虚数单位，iota (i) = √(-1)。

因此， $\sqrt{-100}$可以写成$\sqrt{10\times10\times-1}$ = 10√(-1) = 10i。

我的权力

• i = √-1
• i² = -1
• i³ = i × i² = i × -1 = -i
• i⁴ = i² × i² = -1 × -1 = 1
• i⁵ = i × i⁴ = i
• i⁶ = i × i⁵ = i × i = i² = -1
• i⁷ = i × i⁶ = i × -1 = -i
• i⁸ = (i²)⁴ = (-1)⁴ = 1
• i⁹ = i × i⁸ = i × 1 = i
• i¹⁰ = i × i⁹ = i × i = i² = -1

Following this pattern, one can conclude that i repeats its values after every 4^th power.

复数

复数可以称为实数和虚数的混合，实数或组成部分是任何分数，有理或无理整数，其虚部表示为与虚数单位 iota 相乘的实数，如图 i 所示。因此，复数表示通过加法和减法这两种算术运算组合的实数和虚数。

复数的标准形式

标准形式的复数表示为 a + ib，其中 a 和 b 都是实数，但 b 与虚变量 i 相乘，表示整个复数的虚部，可以表示为通过'z'。因此，复数通常写成 z = a + ib 的形式，其中 a 表示实部，ib 或 bi 将是虚部。就此而言，0 + bi 也将被视为一个复数，实部不存在，bi 描绘了它的虚部。

例子

• 5 + 2i is a complex number, where 5 is the real part and 2i depicts the imaginary part.
• e² + 12i  is a complex number, where e² is the real part and 12i is the imaginary part.
• √22 – 162i is a complex number, where √22 is the real part and 162i is the imaginary part.

求复数 z = e ² + 4i 的实部和虚部。

解决方案：

A complex number is usually written in the form z = a + ib, where a depicts the real part and ib or bi would be the imaginary constituent.

Hence, real part = e² and imaginary part = 4i.

类似问题

问题1：求e ^-2 + i13 的实部和虚部。

解决方案：

A complex number is usually written in the form z = a + ib, where a depicts the real part and ib or bi would be the imaginary constituent.

Real part = e^-2 = 1/ e² and imaginary part = 13i.

问题 2：如果 z = x + iy，求 e ^z的实部和虚部。

解决方案：

e^z = e^{x + iy}

= e^x(cosy + isiny)

= e^x cos y + e^x isiny

Hence the real part = e^x cos y and the imaginary part = e^x isiny.

问题 3：求 3i ²⁰ – i ¹⁹的实部和虚部。

解决方案：

Clearly, i²⁰ = 1 and i¹⁹ = i.

So, the expression becomes 3(1) – i 

= 3 – i

Hence the real part = 3 and the imaginary part = 1.

问题 4：如果 q ∈ R，求数 q 的实部和虚部。

解决方案：

q ∈ R, q is a real number, implying that it does not have any imaginary part. Alternatively one can say that the coefficient of i is zero.

Hence the real part and the imaginary part of q for all q ∈ R are q and zero respectively.

问题 5：求 10i ¹⁰⁰ + 2i ⁹⁹的实部和虚部。

解决方案：

Clearly, i¹⁰⁰ = 1 and i⁹⁹ = -i

So, the expression becomes 10(1) + 2(-i)

= 10 – 2i

Hence the real part = 10 and the imaginary part = 2.