拼图 |单人淘汰赛

在单淘汰赛中，例如网球大满贯冠军赛——每名输掉的选手都将立即从随后的几轮淘汰赛中淘汰，直到确定一名选手为止。如果比赛开始时有 N名选手，请回答以下问题。

1. 获得胜利所需的比赛总数是多少？
2. 这样的比赛有几轮？
3. 根据锦标赛产生的信息，还需要进行多少场比赛才能确定第二好的球员？

解决方案

1. 由于我们在每场比赛中淘汰一名球员，因此只有一名获胜者。然后，总共需要淘汰 N-1名玩家。因此，需要N-1场比赛才能获胜。从数学上讲，如果有N 个玩家，那么我们将在第一轮进行 N/2场比赛，在第二轮进行N/4场比赛，依此类推，直到最后一轮我们有 1场比赛。因此，匹配的总数只是几何级数的总和，项N/2, N/4 直到 1 。

   假设总共有N个玩家，那么获得胜利者的比赛总数：

   => N/2 + N/4 + N/8 + …. + 2 + 1

   This is a geometric progression with
   a = N/2, r = 1/2
   The number of terms in the progression will be $log_{2}N$

   Hence,
   => N/2(1 – (1/2)^{log_2N}) / 1 – 1/2)
   => N(1 – 1/2^{log_2N})
   => N(1 – 1/N)
   => (N – 1)

2. 如果N是 2的幂，则锦标赛的总轮数为log ₂ N ，因为在每一轮中，一半的玩家被淘汰，直到只剩下一个玩家。如果N不是 2的幂，则轮数是2的最小幂，即大于或等于 N，即等于ceil(log ₂ N) 。
3. 第二好的玩家可以是输给获胜者而不是其他任何人的任何玩家。可以让这些玩家参加他们自己的单场淘汰赛。由于获胜者将出现在锦标赛的所有轮次中，因此他们总共将是ceil(log ₂ N)玩家，争夺第二好的玩家。因为，对于N人锦标赛，进行N-1场比赛来找出获胜者，因此，需要ceil(log ₂ N) – 1场比赛来确定竞争者中的获胜者，这将是我们第二好的球员。