拼图|单淘汰赛

在单项淘汰赛中，例如网球大满贯锦标赛，每个失败的球员都会立即从随后的回合中淘汰，直到确定一名球员为止。如果比赛开始时有N位玩家，请回答以下问题。

1. 赢得冠军所需的比赛总数是多少?
2. 这样的比赛有几轮?
3. 根据锦标赛产生的信息，还需要进行多少场比赛才能确定第二名的选手?

解决方案

1. 由于我们在每场比赛中都淘汰一名球员，因此只有一名获胜者。然后，总共需要淘汰N-1名球员。因此，需要N-1场比赛才能获得冠军。从数学上来说，如果有N个玩家，那么我们在第一轮将有N / 2场比赛，在第二轮将有N / 4场比赛，依此类推，直到最后一轮有1场比赛。因此，匹配的总数只是几何级数的总和，其中项N / 2，N / 4直到1 。

   设总人数为N的球员，然后是获得获胜者的比赛总数：

   => N/2 + N/4 + N/8 + …. + 2 + 1

   This is a geometric progression with
   a = N/2, r = 1/2
   The number of terms in the progression will be $log_{2}N$

   Hence,
   => N/2(1 – (1/2)^{log_2N}) / 1 – 1/2)
   => N(1 – 1/2^{log_2N})
   => N(1 – 1/N)
   => (N – 1)

2. 如果N为2的幂，则锦标赛的总回合数为₂ N ，因为在每一回合中有一半的玩家被淘汰，直到只剩下一名玩家。如果N不是2的幂，则回合数是2的最小幂，即大于或等于N，等于ceil(log ₂ N) 。
3. 次佳的玩家可以是输给获胜者的任何玩家，而没有其他玩家。可以使这些玩家玩自己的单场淘汰赛。由于获胜者将出现在锦标赛的所有回合中，因此总的来说，他们将是ceil(log ₂ N)个玩家争夺第二名。由于对于N个球员锦标赛，要进行N-1场比赛来找出获胜者，因此， ceil(log ₂ N)–需要1场比赛来确定竞争者中的获胜者，这将是我们的第二佳玩家。