排序数组的最小成本

如果给定一个不断递增的数组，需要将其中任意两个数进行交换，每次交换的成本为这两个数之积。如何求出将这个数组排序所需的最小成本呢？下面将介绍一种可行的算法。

算法思路

假设数组为 $A = [a_1, a_2, \cdots, a_n]$，要将其排序以达到最小成本。可以考虑使用贪心算法，从左到右依次遍历数组 $A$，将每个数与其后面的数进行比较，如果当前数大于其后面的数，则交换它们；否则继续向右遍历。这样可以保证每次交换都会使数组更接近于有序，从而达到最终排序的目的。

但是，如果按照上述方法一直进行下去，可能会出现以下情况：某个数 $a_i$ 要与后面一个数 $a_{i+1}$ 进行交换，但是此时 $a_{i+1}$ 比 $a_{i+2}, a_{i+3}, \cdots, a_n$ 都要小，如果进行交换将浪费很大的成本。为了避免这种情况，需要进行一些优化。

具体来说，可以在遍历数组时，记录当前最小值 $min$ 和最小值下标 $min_idx$，当遇到一个比 $min$ 还小的数 $a_i$ 时，说明 $a_i$ 需要与 $min$ 进行交换。但此时还需要判断 $a_i$ 是否比后面的数都小，如果是则不进行交换。为了减小时间复杂度，可以使用一个已排序的数组 $B$ 来记录 $a_{i+1}, a_{i+2}, \cdots, a_n$，然后使用二分查找来快速判断是否需要进行交换。

代码示例

下面给出一个例子来实现上述算法：

def min_cost_sort(arr):
    n = len(arr)
    sorted_arr = sorted(arr)
    B = arr[sorted_arr.index(arr[0])+1:]
    min_idx, min_val = 0, arr[0]
    cost = 0
    for i in range(1, n):
        if arr[i] < min_val:
            j = bisect_left(B, min_val)
            if arr[i] < B[j]:
                cost += arr[i] * min_val
                arr[i], arr[min_idx] = arr[min_idx], arr[i]
            else:
                cost += B[j] * min_val
                arr[min_idx], arr[sorted_arr.index(B[j])+1] = arr[sorted_arr.index(B[j])+1], arr[min_idx]
                B.pop(j)
                B.insert(bisect_left(B, arr[i]), arr[i])
            min_idx += 1
            min_val = arr[min_idx]
    return cost

上述代码返回一个整数，表示排序所需要的最小成本。其中 bisect_left 函数用于在有序数组中查找元素的插入点。由于在每次交换完后都需要重新计算 $min$ 和 $B$，因此时间复杂度为 $O(n^2\log n)$。

结论

本文介绍了一种排序数组的最小成本算法。通过记录当前数组的最小值 $min$ 和一个已排序的数组 $B$，可以避免浪费过多成本，同时使用二分查找可以减小时间复杂度。此算法适用于数组长度较小的情况，对于大规模排序可能会出现超时等问题。