简化 cos4theta – sin4theta

在数学中，化简表达式常常是常规的操作之一。在这个主题中，我们将讨论如何简化 cos4theta - sin4theta 这个表达式。

公式推导

我们首先需要知道，根据三角恒等式，我们有：

$$ \begin{aligned} \cos(2\theta) &= 2\cos^2(\theta) - 1 \ \sin(2\theta) &= 2\sin(\theta)\cos(\theta) \end{aligned} $$

因此，我们可以将 cos4theta - sin4theta 这个表达式改写为：

$$ \begin{aligned} \cos^2(2\theta) - \sin^2(2\theta) &= (2\cos^2(\theta) - 1)^2 - (2\sin(\theta)\cos(\theta))^2 \ &= 4\cos^4(\theta) - 4\cos^2(\theta) + 1 - 4\sin^2(\theta)\cos^2(\theta) \ &= 4\cos^4(\theta) - 4\cos^2(\theta)(1 - \sin^2(\theta)) \ &= 4\cos^2(\theta)\sin^2(\theta) \ &= \sin^2(2\theta)\cos^2(2\theta) \end{aligned} $$

由此，我们就得到了 cos4theta - sin4theta 的简化形式：

$$ \cos^2(2\theta) - \sin^2(2\theta) = \sin^2(2\theta)\cos^2(2\theta) $$

Python 代码实现

import math

def simplify_expression(theta):
    cos2theta = math.cos(2*theta)
    sin2theta = math.sin(2*theta)
    return sin2theta**2 * cos2theta**2

总结

在本文中，我们推导了 cos4theta - sin4theta 的简化形式，并提供了 Python 代码实现。此外，我们还介绍了三角恒等式在推导过程中的应用。