使用代数函数简化

在这种方法中，通过应用布尔身份将一个布尔表达式最小化为等效表达式。

问题1

使用布尔身份最小化以下布尔表达式-

$$ F(A，B，C)= A’B + BC’+ BC + AB’C’$$

解

给定$ F(A，B，C)= A’B + BC’+ BC + AB’C’$

或$ F(A，B，C)= A’B +(BC’+ BC’)+ BC + AB’C’$

[根据幂等律，BC’= BC’+ BC’]

或$ F(A，B，C)= A’B +(BC’+ BC)+(BC’+ AB’C’)$

或$ F(A，B，C)= A’B + B(C’+ C)+ C’(B + AB’)$

[根据分配法]

或$ F(A，B，C)= A’B + B.1 + C’(B + A)$

[(C’+ C)= 1且吸收定律(B + AB’)=(B + A)]

或$ F(A，B，C)= A’B + B + C’(B + A)$

[B.1 = B]

或$ F(A，B，C)= B(A’+ 1)+ C’(B + A)$

或$ F(A，B，C)= B.1 + C’(B + A)$

[(A’+ 1)= 1]

或$ F(A，B，C)= B + C’(B + A)$

[As，B.1 = B]

或$ F(A，B，C)= B + BC’+ AC’$

或$ F(A，B，C)= B(1 + C’)+ AC’$

或$ F(A，B，C)= B.1 + AC’$

[As，(1 + C’)= 1]

或$ F(A，B，C)= B + AC’$

[As，B.1 = B]

因此， $ F(A，B，C)= B + AC’$是最小化形式。

问题2

使用布尔身份最小化以下布尔表达式-

$$ F(A，B，C)=(A + B)(A + C)$$

解

给定$ F(A，B，C)=(A + B)(A + C)$

或者，$ F(A，B，C)= AA + AC + BA + BC $ [应用分配规则]

或者，$ F(A，B，C)= A + AC + BA + BC $ [适用幂等律]

或$ F(A，B，C)= A(1 + C)+ BA + BC $ [适用分配律]

或者，$ F(A，B，C)= A + BA + BC $ [适用优势法]

或$ F(A，B，C)=(A +1).A + BC $ [适用分配律]

或$ F(A，B，C)= 1.A + BC $ [适用优势法]

或者，$ F(A，B，C)= A + BC $ [适用优势法]

因此，$ F(A，B，C)= A + BC $是最小化形式。

卡诺地图

莫里斯·卡诺(Maurice Karnaughin)在1953年提出的卡诺图(K–map)是真值表的网格状表示形式，用于简化布尔代数表达式。卡诺地图在不同位置具有零个条目和一个条目。它提供将布尔表达式与公共因子分组在一起，并从表达式中消除了不需要的变量。在K地图中，跨越垂直或水平像元边界始终仅是一个变量的变化。

例子1

任意真值表如下-

现在我们将为上述真值表制作一个k映射-

例子2

现在我们将为表达式−-AB + A’B’创建一个K-map

使用K-map简化

K-map使用一些规则来简化布尔表达式，方法是将相邻单元格合并为单个项。规则描述如下-

规则1-任何包含零的单元格都无法分组。

分组错误

规则2-组必须包含2n个单元(n从1开始)。

分组错误

规则3-分组必须为水平或垂直，但不能为对角线。

对角线分组错误

正确的垂直分组

正确的水平分组

规则4-必须尽可能多地覆盖群体。

分组不足

正确分组

规则5-如果无法将任何一个单元格中的1个与其他任何单元格分组，则它将本身作为一个组。

正确分组

规则6-组可以重叠，但组应尽可能少。

正确分组

规则7-可以将最左边的一个或多个单元格与最右边的一个或多个单元格分组，而最上面的一个或多个单元格可以与最底部的一个或多个单元格分组。

正确分组

问题

使用K-map最小化以下布尔表达式-

$$ F(A，B，C)= A’BC + A’BC’+ AB’C’+ AB’C $$

解

每个项都放入k-map中，我们得到以下内容-

F(A，B，C)的K地图

现在，我们将根据上述规则将1的单元格分组-

F(A，B，C)的K地图

我们有两个组，分别称为$ A’B $和$ AB’$。因此，$ F(A，B，C)= A’B + AB’= A \ oplus B $。它是最小化形式。