N个数字，可从M个数字中除以5

在程序开发中，我们有时需要从给定的数字中选择一些数字进行操作。对于特定的需求，有时需要从指定的数字中选择能被5整除的数字。本文将介绍如何从M个数字中选择N个数字，并且这些数字都能被5整除。

方案一：暴力枚举法

暴力枚举法是一种比较简单的方法，它通过遍历所有可能的方案来解决问题。在本题中，我们可以通过N层循环遍历所有可能的选择方案，并且验证每个方案中是否都包含了N个能被5整除的数字。时间复杂度为O(M^N)，随着M和N的增大，时间复杂度将呈现指数级别增长。这种方法适用于M和N比较小的情况。

def choose_n_numbers_divisible_by_five(n, m):
    results = []
    for i in range(m):
        if i % 5 == 0:
            _choose_n_numbers_divisible_by_five(n-1, m, results, [i], i)
    return results

def _choose_n_numbers_divisible_by_five(n, m, results, chosen, last):
    if n == 0:
        results.append(chosen)
        return
    for i in range(last+1, m):
        if i % 5 == 0:
            _choose_n_numbers_divisible_by_five(n-1, m, results, chosen+[i], i)

方案二：回溯法

回溯法是另一种解决问题的方法，它通过深度优先搜索的方式来遍历所有可能的方案，同时通过回溯的方式进行剪枝，以达到更高效的结果。在本题中，我们可以通过深度优先搜索的方式遍历所有可能的选择方案，并在每次选择时判断当前选择是否能被5整除，从而达到可行性剪枝。时间复杂度为O(C(N,M))，其中C(N,M)表示组合数，随着N和M的变大，时间复杂度将呈现指数级别增长。这种方法适用于M比较大，N比较小的情况。

def choose_n_numbers_divisible_by_five(n, m):
    results = []
    _choose_n_numbers_divisible_by_five(n, m, results, [])
    return results

def _choose_n_numbers_divisible_by_five(n, m, results, chosen):
    if n == 0:
        results.append(chosen)
        return
    for i in range(m):
        if i % 5 == 0 and i not in chosen:
            _choose_n_numbers_divisible_by_five(n-1, m, results, chosen+[i])

方案三：动态规划法

动态规划法是一种比较高效的解决问题的方法，它通过保存中间状态的方式来避免重复计算，并以此达到更高效的结果。在本题中，我们可以使用动态规划法来解决问题。设状态f(i,j)表示从前j个数字中选择i个数字，并且这些数字都能被5整除的方案数。考虑第j个数字能否被选中，如果第j个数字能被选中，则状态转移方程为f(i,j)=f(i-1,j-1)+f(i,j-1)，否则状态转移方程为f(i,j)=f(i,j-1)。时间复杂度为O(NM^2)，空间复杂度为O(NM)。这种方法适用于M比较小，N比较大的情况。

def choose_n_numbers_divisible_by_five(n, m):
    # initialization
    dp = [[0 for _ in range(m+1)] for _ in range(n+1)]
    for i in range(m+1):
        dp[0][i] = 1

    # dp
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, m+1):
            if j % 5 == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j-1]
            else:
                dp[i][j] = dp[i][j-1]

    # backtracking
    results = []
    chosen = []
    _backtracking(dp, chosen, results, n, m)
    return results[::-1]

def _backtracking(dp, chosen, results, i, j):
    if i == 0:
        results.append(chosen.copy())
        return
    if j <= 0:
        return
    if dp[i][j] == dp[i][j-1]:
        _backtracking(dp, chosen, results, i, j-1)
    if j % 5 == 0 and dp[i][j] == dp[i-1][j-1] + dp[i][j-1]:
        chosen.append(j)
        _backtracking(dp, chosen, results, i-1, j-1)
        chosen.pop()

总结

本文介绍了三种解决从M个数字中选择N个数字，并且这些数字都能被5整除的方案的方法。这些方法分别为暴力枚举法、回溯法和动态规划法。其中，暴力枚举法适用于M和N比较小的情况；回溯法适用于M比较大，N比较小的情况；动态规划法适用于M比较小，N比较大的情况。