求一个度数序列是否可以形成一个简单的图 | 哈维尔-哈基米算法

简介

在图论中，一个 度数序列(degree sequence) 是指图中每个顶点的度数构成的序列。问题是如何判断一个度数序列是否可以形成一个简单的图。

哈维尔-哈基米算法是一个可以解决这个问题的方法。

算法思路

哈维尔-哈基米算法的基本思路是通过删除度数最小的点，直到形成一个空图或无法再继续删除为止。

算法主要有两个阶段：

1. 对度数序列进行排序，从大到小依次计算前缀和；
2. 对前缀和进行操作，逐步删除度数最小的点，直到所有点的度数都为零或无法再继续删除。

语言支持

哈维尔-哈基米算法可以用多种语言实现，包括但不限于 Python、C++ 和 Java。

以下是一个 Python 实现的样例代码：

def havel_hakimi(degrees):
    degrees.sort(reverse=True)  # 按从大到小排序
    while degrees:  # 循环删除度数最小的点，直到所有点的度数都为零或无法再继续删除
        if all(x == 0 for x in degrees):
            return True
        if len(degrees) < degrees[-1] + 1:
            return False
        for i in range(1, degrees[-1] + 1):
            degrees[i] -= 1
        degrees.pop()
        degrees.sort(reverse=True)
    return True

使用示例

以下是一个展示如何使用哈维尔-哈基米算法判断一个度数序列是否可以形成一个简单的图的示例：

# 判断度数序列 (3, 3, 2, 2, 2, 2) 是否可以形成一个简单的图
print(havel_hakimi([3, 3, 2, 2, 2, 2]))  # True

# 判断度数序列 (5, 4, 3, 2, 1) 是否可以形成一个简单的图
print(havel_hakimi([5, 4, 3, 2, 1]))  # False

总结

哈维尔-哈基米算法是一个可行的方法来判断一个度数序列是否可以形成一个简单的图。对于一个给定的度数序列，我们可以使用哈维尔-哈基米算法来进行检查，看它能否表示一个简单图。