门|门模拟 2017 |第 52 题

题目描述

你需要写一个程序来模拟开门和关门的过程。假设有 $n$ 个门，每个门都有一个初始状态：要么是打开的，要么是关闭的。你的程序需要对这些门进行 $m$ 次操作。每次操作都是应用于一段连续的门。

操作可以是以下两种之一：

• 切换区间内所有门的状态（打开的变成关闭的，关闭的变成打开的）；
• 查询区间内打开的门的数量。

你需要将每次查询操作得到的结果输出到标准输出上。

输入格式

输入文件的第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$，分别表示有 $n$ 个门和 $m$ 次操作。

接下来的一行包含 $n$ 个用空格分开的整数 $c_1,c_2,\ldots,c_n$，其中 $c_i$ 表示初始时门 $i$ 的状态。

接下来 $m$ 行，每行描述一个操作。

对于第 $i$ 行（$1 \le i \le m$），不妨设为形如 $T\ \ell\ r$，表示一个操作，其中：

• 如果 $T = 0$，则表示切换区间 $\ell$ 到 $r$ 中的所有门的状态（即打开的变成关闭的，关闭的变成打开的）；
• 如果 $T = 1$，则表示查询区间 $\ell$ 到 $r$ 中打开的门的数量。

输出格式

对于每个查询操作，输出一行一个整数，表示区间内打开的门的数量。

输入样例

5 5
0 1 0 1 1
1 1 5
0 2 5
1 1 5
0 3 3
1 3 3

输出样例

3
3
1

数据范围

$1 \le n \le 10^5$，$1 \le m \le 10^5$，$0 \le c_i \le 1$，$1 \le \ell \le r \le n$。

解题思路

本题需要实现两种操作：

• 区间取反
• 区间求和

可以采用树状数组来完成。

首先预处理，记录前缀和 $s_i$，表示第 $1$ 到第 $i$ 个元素的和。

对于操作 $T\ \ell\ r$，如果 $T = 0$，则相当于将区间 $\ell$ 到 $r$ 的元素全部取反，可以使用前缀和数组的差分数组来维护。如果 $T = 1$，则相当于求出终点 $r$ 的前缀和与起点 $\ell - 1$ 的前缀和的差值。

时间复杂度为 $O(m \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。