如何以分数形式找到 sin 150° 的值？
三角学是数学中的一个分支，它将三角形的边与角度联系起来。根据三角形的边和对应角度使用三角形的一些比率、关系和恒等式，可以轻松直观地解决和计算许多问题（距离、高度等）。三角形的角和边之间有几个标准比率或关系，有助于解决一些基本问题和复杂问题。
三角比
三角比定义为直角三角形的边与角的比例。标准三角比可以作为直角三角形的边与任一锐角的比值来获得。正弦、余弦、正切等一些标准三角比的一些定义如下，
正弦函数是以角度 θ 为参数的函数，角度 θ 是直角三角形中的任一锐角，定义为直角三角形对边的长度与斜边的比值。用技术术语来说，它可以写成如下，
sin(θ) = 对边 / 斜边
余弦函数是以角度 θ 为参数的函数，角度 θ 是直角三角形中的任一锐角，定义为直角三角形相邻边的长度与斜边的比值。用技术术语来说，它可以写成如下，
cos(θ) = 邻边 / 斜边
正切函数是以角度 θ 为参数的函数，它是直角三角形中的锐角之一，定义为直角三角形的对边与相邻边的长度之比.用技术术语来说，它可以写成如下，
tan(θ) = 对边 / 邻边
这些三角比使用一些三角恒等式和公式相互关联，
tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)
sin²(θ) + cos²(θ) = 1
每个三角比都有其他三个导出的三角比，这些三角比是通过取各自比率的倒数来推导出的。其他三个三角比是余割、正割和余切，在数学上用作 cosec、sec 和 cot。这些与主要三角比率有关，如下所示，
cosec(θ) = 1 / sin(θ)
sec(θ) = 1 / cos(θ)
cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)
下面是一些与标准三角比和派生三角比相关的恒等式，
tan²(θ) + 1 = sec²(θ)
cot²(θ) + 1 = cosec²(θ)
三角表
下表列出了一些常用角度和基本三角比。三角函数中每个角度的值是固定的且已知的，但提到的更常见且最常用，Ratio\Angle 0° 30° 45° 60° 90° sin(θ) 0 1/2 1/√2 √3/2 1 cos(θ) 1 √3/2 1/√2 1/2 0 tan(θ) 0 1/√3 1 √3 ∞ cosec(θ) ∞ 2 √2 2/√3 1 sec(θ) 1 2/√3 √2 2 ∞ cot(θ) ∞ √3 1 1/√3 0
除了直角三角形之外，还有一些其他的三角比率可以应用：
sin(-θ) = – sin(θ)
cos(-θ) = cos(θ)
tan(-θ) = – tan(θ)
补角和补角
为补角和补角定义了某些公式。互补角是加起来形成 90° 或 π/2 弧度的角度。我们可以形成这样的角度，并根据三角比找到等效的角度。
补角是加起来形成 180° 或 π 弧度的角度。我们可以形成这样的角度，并根据三角比找到等效的角度。
从 90° (π/2 弧度) 中减去一个适当的角度或在 180° (π 弧度) 上加上一个角度以获得互补角。在 90° (π/2 弧度) 上加上一个适当的角度或从 180° (π 弧度) 中减去一个角度以获得一对补角。实际角度可以在三角比的函数中调整，以形成互补角或补角，然后根据下面给出的公式列表评估推导的三角比。补角和补角有一些三角比，
sin(nπ/2 + θ) = cos(θ) or sin(n90° + θ) = cos(θ)
sin(nπ/2 – θ) = cos(θ) or sin(n × 90° – θ) = cos(θ)
sin(nπ + θ) = -sin(θ) or sin(n × 180° + θ) = -sin(θ)
sin(nπ – θ) = sin(θ) or sin(n × 180° – θ) = sin(θ)
sin(3nπ/2 + θ) = -cos(θ) or sin(n × 270° + θ) = -cos(θ)
sin(3nπ/2 – θ) = -cos(θ) or sin(n × 270° – θ) = -cos(θ)
sin(2nπ + θ) = sin(θ) or sin(n × 360° + θ) = sin(θ)
sin(2nπ – θ) = -sin(θ) or sin(n × 360° – θ) = -sin(θ)
We will also need some compound angle formulae for the sine function,
sin(A + B) = [sin(A).cos(B)] + [cos(A).sin(B)]
sin(A – B) = [sin(A).cos(B)] – [cos(A).sin(B)]
如何以分数形式找到 sin 150° 的值？
解决方案：
方法一：
sin(150°)
We can write 150° as 180° – 30°
So,
sin(150°) = sin(180° – 30°)
But we know that,
sin(n×180° – θ) = sin(θ)
So,
sin(150°) = sin(180° – 30°)
= sin(30°)
= 1/2
Thus, sin(150°) = 1/2
方法二：
sin(150°)
We can also write, 150° as (90° + 60°),
So,
sin(150°) = sin(90° + 60°)
But we know that,
sin(n×90 + θ) = cos(θ)
Thus,
sin(150°) = sin(90° + 60°)
= cos(60°)
= 1/2
Thus, sin(150°) = 1/2
方法三：
We can also write 150° as (75° + 75°)
So,
sin(150°) = sin(75° + 75°)
We have a formula,
sin(A+B) = sin(A).cos(B) + cos(A).sin(B)
But here, A = B, thus
sin(A+B) = sin(A).cos(A) + cos(A).sin(A)
= 2.sin(A).cos(A)
Here, A = B = 75°,
So,
sin(75°) = ?
We can write 75° as (45° + 30°)
So,
sin(75°) = sin(45° + 30°)
Now we can apply the formula again,
sin(A + B) = [sin(A).cos(B)] + [cos(A).sin(B)]
Here, A = 45° and B = 30°,
sin(75°) = sin(45° + 30°)
= sin(45°).cos(30°) + cos(45°).sin(30°)
= [(1/√2).(√3/2)] + [(1/√2).(1/2)]
= (√3/2) × (1/√2)] + [(1/2) × (1/√2)]
= (√3/2√2) + ( 1/2√2)
= (√(3)+1 ) / (2√2)
sin(75°) = (√(3)+1) / (2√2)
And,
cos(75°) = cos(45° + 30°)
We also have a compound angle formula for cosine function,
cos(A+B) = cos(A).cos(B) – sin(A).sin(B)
= cos(45°).cos(30°) – sin(45°).sin(30°)
= (1/√2).(√3/2) – (1/√2).(1/2)
= (√3/2√2) – (1/2√2)
= ((√3-1)/2√2)
cos(75°) = ((√3-1) / 2√2)
Now we can write,
sin(150°) = sin(75° + 75°)
= 2.sin(75°).cos(75°)
= 2.((√(3)+1) / (2√2)).(((√3-1) / 2√2))
= ((√(3) +1).(√(3) – 1) / 2.√2.√2
= ((√3)² – 1²) / 2×2
= (3-1)/4
= 2/4
= 1/2
Thus,
sin(150°) = 1/2
示例问题
问题 1：求 sin(135°) 的值。
解决方案：
We can write 135° as 90 + 45°
So,
sin(135°) = sin(90° + 45°)
We know that,
sin(n×90 + θ) = cos(θ)
Here, n = 1 and θ = 45°,
Thus,
sin(135°) = sin(90° + 45°)
= cos(45°)
= 1/√2
Thus, sin(135°) = 1/√2
问题2：求sin(15°)的值
解决方案：
We can write 15° as (45° – 30°),
So,
sin(15°) = sin(45° – 30°)
We can apply the formula,
sin(A – B) = [sin(A).cos(B)] – [cos(A).sin(B)]
Here, A = 45° and B = 30°,
So,
sin(15°) = sin(45° – 30°)
= sin(45°).cos(30°) – cos(45°).sin(30°)
= (1/√2).(√3/2) – (1/√2).(1/2)
= (√3/2√2) – (1/2√2]
= (√3 – 1) / 2√2
= 0.25881..
Thus, sin(15°) = 0.25881..
问题3：求sin(120°)的值
解决方案：
We can write 120° as (180° – 60°),
So,
sin(120°) = sin(180° – 60°)
We know that,
sin(n×180 – θ) = sin(θ)
So,
sin(120°) = sin(180° – 60°)
= sin(60°)
= √3/2
= 0.86602
Thus, sin(120°) = 0.86602…
因此，通过以三种不同的方式解决问题并通过一些示例问题，我们能够找到 sin(150°) 的值，结果是分数形式的 0.5 或 1/2。