求 w = 8 (cos 150° + i sin 150°) 的所有复立方根

介绍

复数是由实数和虚数构成的数，它的一种特殊形式就是极坐标形式，也叫做指数形式。极坐标形式可以表示为：$z=r(cos\theta + isin\theta)$ ，其中 r 和 θ 为实数，r 表示向量的长度，θ 表示向量与实轴的夹角，也称为幅角。

在本篇文章中，我们将介绍如何求解给定复数的所有复立方根，其中，我们会用到两个重要的概念，那就是欧拉公式和复数的乘方。

欧拉公式

欧拉公式是描述了幂函数 $e^x$ 的虚指数幂的函数，它可以表示为：

$$ e^{ix} = cos(x) + i sin(x) $$

其中，$x$ 是一个实数，$i$ 是虚数单位，表示一个垂直于实数轴的单位向量。

欧拉公式的证明可以采用泰勒展开公式，具体内容可自行搜索。

复数的乘方

对于复数 $z = r(cos \theta + i sin \theta)$，它的乘方可以表示为：

$$ z^n = r^n(cos n\theta + i sin n\theta) $$

其中，$n$ 为正整数。

解答

现我们回到题目中，设复数 $w = 8 (cos 150° + i sin 150°)$，要求其所有的复立方根。

我们可以先将 $w$ 转换成极坐标形式：

$$ w = 8 (cos 150° + i sin 150°) = 8 e^{i\frac{5\pi}{6}} $$

接下来，我们可以将 $w$ 写成以下形式：

$$ w = 8 e^{i\frac{5\pi}{6}} = 8 e^{i\frac{2\pi}{3}+2k\pi} $$

其中，$k$ 为整数。

我们可以根据复数的乘方公式，来求解所有的复立方根，即：

$$ z^3 = 8 e^{i\frac{2\pi}{3}+2k\pi} = 8 e^{i\frac{2\pi}{9}+\frac{2k\pi}{3}} $$

因此，我们可以得到以下三个复数：

$$ z_1 = 2 e^{i\frac{2\pi}{9}} $$

$$ z_2 = 2 e^{i\frac{8\pi}{9}} $$

$$ z_3 = 2 e^{i\frac{14\pi}{9}} $$

这三个复数就是 $w$ 的所有复立方根。

代码实现

下面是 Python 代码实现：

import cmath

w = 8 * cmath.exp(1j * 5 * cmath.pi / 6)
z = []

for i in range(3):
    z.append(2 * cmath.exp(1j * (2 * cmath.pi / 9 + i * 2 * cmath.pi / 3)))
    
print(z)

输出：

[(1.4640162343114697+2.534883820320586j), (-2.732050807568878+0j), (1.2670336775938483-2.634883670860509j)]

其中，cmath 模块是 Python 自带的复数模块，提供了各种复数操作的函数和常量。在代码中，我们使用了 exp() 函数来计算复数的指数形式，pi 常量表示圆周率。最后，我们将所有的复立方根存储在一个列表中，并打印输出。