叠加与干涉

直到 18 世纪，光被认为是直线传播的光线。笛卡尔给出了光的微粒模型，该模型由艾萨克牛顿进一步发展，包括反射和折射定律。后来，一位荷兰物理学家介绍了一种新的光模型，将光建模为波。由于牛顿的权威和几乎可以忽略的实验证据，这个模型没有被广泛接受。然而，由于托马斯·杨的实验，确定了光具有波动性。由于确定了光具有波动性，干涉和叠加的研究成为该领域的重要组成部分。让我们详细研究这些概念。

叠加原理

当不止一种波在同一介质中传播时，它们必然会相互作用。叠加原理帮助我们描述当两个或多个波相互结合时产生的波或运动。下图显示了在给定介质的粒子中产生一些位移的两个波。在这种情况下，叠加原理表明，

The resultant displacement of a number of waves in the medium at a particular point is the vector sum of the individual displacements produced by wave at each point. 

叠加原理可以应用于任何类型的波，前提是：

1. 叠加的波属于同一类型。
2. 波在其中传播的介质呈线性行为，这意味着以两倍位移位移的介质粒子在它们上承受两倍的恢复力。

光波在不同的介质中以不同的速度传播，速度会发生变化，但频率保持不变。现在因为波的速度在变化，而频率保持不变。可以得出结论，当光穿过不同的介质时，波的波长也会发生变化。如果叠加的波沿同一方向传播，则称为相干相加，反之亦然。

波的干扰

考虑两根留在水中的针和点 S ₁和 S ₂ ，如图所示。这些针以相同的方式周期性地上下移动。这种运动产生两个水波，并假设在特定点这些波之间的相位差不随时间变化。因此，这两个源可以称为相干源。

建设性干扰

在上图中，考虑与两个针的距离相等的点 P。这种干扰在现实生活中几乎无处不在，只要有波在起作用。在这种情况下，产生的波的强度通常大于彼此叠加的波的单个强度。这种现象在通信工程和光学等工程领域得到了利用。

PS ₁ = PS ₂

由于两个波以相等的速度传播，因此这些波需要相同的时间到达点 P。由于每个波产生的位移由下式给出

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt)

现在使用叠加原理求合成位移 (y)。

y = y ₁ + y ₂

⇒ y = acos( ωt) + acos(ωt)

⇒ y = 2acos(ωt)

众所周知，强度与幅度的平方成正比。因此，现在由于幅度变为原始幅度的两倍。如果将初始强度视为 I ₀ ，则叠加后的强度将由下式给出，

我 = 4我₀

由于叠加后强度增加。这被称为建设性干扰。现在让我们为这种情况再举一个类似的例子，考虑下图中给出的点Q。假设波的波长为λ，这种情况下的路径差为，

S ₁ Q – S ₂ Q = 2 $\lambda$

请注意，在图中，源自点 S ₁的波恰好提前两个周期到达点 Q。在这一点上由单个波产生的位移将由下式给出，

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt – 4 π )

y = y ₁ + y ₂

⇒ y = acos( ωt) + acos(ωt – 4 π )

⇒.y = acos( ωt) + acos( ωt)

⇒ y = 2a cos( ωt)

注意路径差2 $\lambda$给了我们建设性的干扰。因此，以更一般的方式，可以说$\lambda$ n 给了我们建设性的干扰。这里 n = 0, 1, 2, 3, ...

破坏性干扰

这种干扰通常发生在位移通常方向相反的地方，波叠加的净效应降低了产生的波的幅度和强度。与前面的情况类似，让我们考虑下图中给出的点 R。这些路径之间的路径差异为 2.5 $\lambda$

S ₂ R – S ₁ R = -2.5 $\lambda$

因此，源自 S ₁两点的波将在两个半周期后恰好到达。因此，在那种情况下，相位差变为5π。

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt + 5 π )

y = y ₁ + y ₂

⇒ y = acos( ωt) + acos(ωt + 5 π )

⇒.y = acos( ωt) – acos( ωt)

⇒ y = 0

因此，这一次相反方向的两个位移导致零振幅和零强度。这称为相消干涉。相消干涉的路径差可以概括为 ( n + 0.5) $\lambda$其中 n = 0, 1, 2, 3 ...。

让我们看看这些概念的一些例子。

示例问题

问题1：干扰现象可以用下列哪项原理来解释：

1. 海森堡原理
2. 费米原理
3. 叠加原理
4. 量子力学

回答：

Phenomena of interference can be explained by “Superposition Principle”. It states that, 

“The resultant displacement of a number of waves in the medium at a particular point is the vector sum of the individual displacements produced by wave at each point.”

问题 2：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt + π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = acos(ωt)+acos(ωt+π)

⇒ y = acos(ωt)−acos(ωt)

⇒ y = 0 

The resulting amplitude becomes zero. 

问题 3：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt + 2 π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = acos(ωt)+acos(ωt+2π)

⇒ y = acos(ωt)+acos(ωt)

⇒ y = 2acos(ωt)

The resulting amplitude becomes “2a”. 

问题 4：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = 2acos( ωt)

y ₂ = acos(ωt + π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = 2acos(ωt)+acos(ωt+π)

⇒ y = 2acos(ωt)−acos(ωt)

⇒ y = acos(ωt) 

问题 5：在介质中传播的两个波由以下方程给出，

y ₁ = 5acos( ωt)

y ₂ =3acos(ωt + 2 π )

求它们叠加后的幅度。

回答：

y = 5acos(ωt)+3acos(ωt+2π)

⇒ y = 5acos(ωt)+3acos(ωt)

⇒ y = 8acos(ωt)

The resulting amplitude becomes “8a”.