检查给定的图形是否表示总线拓扑

在进行计算机网络或者电子设备的设计时，经常要使用总线拓扑来连接多个设备。总线拓扑的特点是：所有设备都连接在一个总线上，设备之间的通信都是通过总线进行的。

我们编写一个函数来检查给定的图形是否表示总线拓扑。

函数输入

函数的输入为一个邻接矩阵 $M$。假设有 $n$ 个设备，那么 $M$ 的大小为 $n \times n$，其中 $M_{i,j}$ 表示设备 $i$ 和设备 $j$ 之间是否有连线。当 $M_{i,j}=1$ 时表示有连线，否则为没有连线。

函数输出

函数的输出为一个布尔值：如果输入的邻接矩阵表示总线拓扑，返回 True，否则返回 False。

实现思路

总线拓扑要求所有设备都连接在同一个总线上。因此，这个总线上恰好有 $n-1$ 条连线，设备之间互相连通，并且不会出现环路。因此，我们可以按照以下步骤来检查输入的邻接矩阵是否表示总线拓扑：

1. 统计邻接矩阵中连线的数量 $m$。
2. 如果 $m \neq n-1$，那么邻接矩阵不表示总线拓扑，返回 False。
3. 如果存在环路，那么邻接矩阵不表示总线拓扑，返回 False。
4. 否则，邻接矩阵表示总线拓扑，返回 True。

如何检查邻接矩阵是否存在环路呢？一个简单的方法是使用 DFS（深度优先搜索）。我们从设备 $i$ 开始递归地遍历与之相邻的设备，同时标记已经遍历过的设备。如果我们发现了一个已经被标记的设备，那么表示存在环路，返回 False。

代码实现

下面是 Python 代码的实现。请注意，这里使用了 DFS 来检查邻接矩阵是否存在环路，时间复杂度为 $O(n^2)$。如果需要更高效的实现，可以考虑使用更加高级的算法，比如 Tarjan 算法。

def is_bus_topology(adj_matrix):
    n = len(adj_matrix)
    m = sum(sum(adj_matrix[i]) for i in range(n)) // 2

    if m != n - 1:
        return False

    visited = [False] * n
    def dfs(i):
        visited[i] = True
        for j in range(n):
            if adj_matrix[i][j]:
                if visited[j]:
                    return False
                elif not dfs(j):
                    return False
        return True

    for i in range(n):
        if not visited[i]:
            if not dfs(i):
                return False

    return True

测试样例

为了验证代码的正确性，我们可以使用以下样例对其进行测试。

# 一般样例
is_bus_topology([
    [0, 1, 1, 1],
    [1, 0, 0, 0], 
    [1, 0, 0, 0], 
    [1, 0, 0, 0]
])  # True

# 节点未连通
is_bus_topology([
    [0, 1, 0, 0],
    [1, 0, 0, 0], 
    [0, 0, 0, 1], 
    [0, 0, 1, 0]
])  # False

# 节点数不够
is_bus_topology([
    [0, 1, 1],
    [1, 0, 0], 
    [1, 0, 0]
])  # False

# 存在环路
is_bus_topology([
    [0, 1, 1, 0],
    [1, 0, 0, 1], 
    [1, 0, 0, 1], 
    [0, 1, 1, 0]
])  # False

以上是对于本题的介绍和实现，希望对于程序员的朋友们有所帮助。