第 11 类 RD Sharma 解决方案 - 第 25 章抛物线 - 练习 25.1 |设置 1

简介

RD Sharma解决方案是针对印度最受欢迎，最广泛使用的教科书解答方案。本文介绍的是RD Sharma解决方案中第11类关于抛物线第25章第1节的练习共1套题的解决方案。该解答方案适用于初中、高中等各级别的学生和数学爱好者，对于学习和理解数学知识有很大的帮助。

内容

本章第1节共有1套题，涉及到抛物线在坐标系中的性质。练习题的要求是解决一些关于抛物线性质的问题，并把结果填入题目中。题目的难易程度逐渐递增，适用于各级别的学生和数学爱好者。RD Sharma第11类第25章第1节的解答方案还解释了每个步骤的详细知识点，并附有公式和图案，方便读者更好的理解掌握。

代码片段

#### 第 1 套题
##### 练习 25.1

1. 一条竖直线通过顶点V分离一个抛物线，使得它们构成一个上下相对的对称图形，请问这条线在顶点的左侧还是右侧？

2. 如果抛物线的焦距等于轴上两个交点到抛物线顶点的距离之和，那么轴上两点到焦点距离的比值是多少？

3. 对于抛物线y^2 = 4ax, 如果TP垂直于直线y = 2a, 那么TP平分线段PF, 求点P横坐标与纵坐标的比值。

4. 如果两个弦截取的圆锥曲线相等，那么这两个弦之比是多少？

#### 解答

1. 竖直线对抛物线上的每一个点都有一条平行线。因为这些平行线相交于抛物线的轴，所以这个竖直线必须通过轴的垂线。因此这个线要么在V的左侧，要么在V的右侧。但是，上下相对称的条件限制了这个线必须通过抛物线的焦点，且这个线与与焦点的连线必须成45度。这样这个线就被限制在了V的左侧。

2. 由题意可知，焦距F = (1/4a)*(4a+4a), P = (x, 2a)。设焦点坐标为F(x1, y1)，则：

   PF^2 = (x - x1)^2 + (2a - y1)^2

   FP^2 = (x1 - x)^2 + y1^2

   我们知道，焦点到轴的距离等于抛物线顶点的纵坐标。因此 y1 = a，x1 = 0

   再将 F 的坐标代入式子中，最终可得：

   PF/FP = 1

3. 我们知道，切线的斜率等于抛物线在这个点的导数f’(x)，且TP垂直于直线y = 2a，那么TP在点P处的斜率为0，即f’(x) = 0。由于抛物线方程为 y^2 = 4ax，所以：

   y^2 = 4ax

   2yy’ = 4a

   y’ = 2a/y

   f’(x) = 0

   x = a/2

   将 x 代入抛物线方程中，可得 y = 2sqrt(2)a

   因此 P 的坐标为 (a/2, 2sqrt(2)a)，且F的坐标为 (a, 0)

   设线段PF和TP的交点为Q，则

   PQ/PF = 1/2

   记点 Q 的坐标为 (x,y)，则

   PQ^2 = (x - a/2)^2 + y^2

   PF^2 = (x - a)^2 + (2sqrt(2)a)^2

   TP^2 = (x - a/2)^2 + (4sqrt(2)a)^2

   因为 TP = 2QF  (QF为焦点F到Q的距离)，所以：

   (x - a/2)^2 + (4sqrt(2)a)^2 = 4(x - a)^2 + 16a^2

   化简可得

   x = 3a/2，y = sqrt(2)a

   因此P的横坐标与纵坐标的比值为 3/2

4. 我们可以用两个等式来表示这种对称性，即

   (y-y1)/(y1-y2) = (x-x1)/(x1-x2)

   (y-y3)/(y3-y4) = (x-x3)/(x3-x4)

   记线段1的长度为L1，线段2的长度为L2，则

   L1 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2

   L2 = (x3-x4)^2 + (y3-y4)^2

   移项，变形可得

   L1*(y-y3)/(y3-y4)-L2*(y-y1)/(y1-y2) = L1-L2

   两侧同乘 (y3-y4)*(y1-y2)

   L1*(y-y3)*(y1-y2)-L2*(y-y1)*(y3-y4) = (L1-L2)*(y3-y4)*(y1-y2)

   移项，变形可得

   (L1-L2)*y^2 + 2*(L2*y1-L1*y3)*y + L1*(y3^2+y2*y4) - L2*(y1^2+y2*y4)=0

   联立系数可得

   a = L1-L2

   b = 2*(L2*y1-L1*y3)

   c = L1*(y3^2+y2*y4) - L2*(y1^2+y2*y4)

   代入一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 中，解得

   y = (-b + sqrt(b^2-4ac))/2a 或 y = (-b - sqrt(b^2-4ac))/2a

   如果 y1 < y < y2，那么长弦的长度为

   L1 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2

   如果 y3 < y < y4，那么短弦的长度为

   L2 = (x3-x4)^2 + (y3-y4)^2

   因此两条弦的比值为

   L1/L2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2/(x3-x4)^2 + (y3-y4)^2