图的连通分量数（使用 Disjoint Set Union）

图的连通分量数是指在一个无向图中，互相连通的点所形成的集合的数量。在计算机科学中，我们通常使用 Disjoint Set Union（并查集）数据结构来实现对图的连通分量数的计算。

Disjoint Set Union

Disjoint Set Union（并查集）是一种用于维护集合的数据结构。它支持如下操作：

• makeSet(x)：创建一个只包含元素 x 的集合。
• union(x, y)：将包含元素 x 和元素 y 的两个集合合并成一个集合。
• find(x)：找到包含元素 x 的集合的代表元素。

使用并查集可以在常数时间内进行合并和查询操作。使用并查集，我们可以很容易地计算出无向图的连通分量数。

算法思路

• 对于图中每个节点，使用 makeSet 创建一个初始集合。
• 对于每条边 (u, v)，使用 union 将节点 u 和节点 v 所属的集合合并。
• 遍历整个图，使用 find 找到每个节点所属的集合的代表元素，并统计出不同代表元素的数量。这个数量就是图的连通分量数。

代码实现

以下代码实现了对无向图连通分量数的计算，假定节点编号从 0 开始，n 为节点数，edges 为边列表，每条边是一个含有两个节点编号的元组。

class DisjointSetUnion:
    def __init__(self, n: int):
        self.parent = list(range(n))
        self.rank = [0] * n

    def find(self, x: int) -> int:
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def union(self, x: int, y: int) -> None:
        x_root, y_root = self.find(x), self.find(y)
        if x_root == y_root:
            return
        if self.rank[x_root] < self.rank[y_root]:
            self.parent[x_root] = y_root
        elif self.rank[x_root] > self.rank[y_root]:
            self.parent[y_root] = x_root
        else:
            self.parent[y_root] = x_root
            self.rank[x_root] += 1

def count_connected_components(n: int, edges: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    dsu = DisjointSetUnion(n)
    for u, v in edges:
        dsu.union(u, v)
    return len(set(dsu.find(i) for i in range(n)))

时间复杂度

使用 Disjoint Set Union 进行图的连通分量数计算的时间复杂度为 O(n α(n))，其中 α(n) 为阿克曼函数的反函数，其值不超过 5。因此，这个算法的复杂度可以视为常数时间复杂度。而算法实现的空间复杂度为 O(n)。