图的连通分量数（使用 Disjoint Set Union）

介绍

在图论中，连通分量是指无向图或有向图中的极大连通子图，即其中任意两个顶点均有路径相连，而与其他顶点不相连。连通分量数则是指图中连通分量的数量。

使用 Disjoint Set Union（并查集）可以方便快速地计算图的连通分量数。具体实现方法为，对于每条边 (u, v)，将节点 u 和节点 v 所在的集合合并为一个集合。最后，集合的个数就是图的连通分量数。

时间复杂度

使用 Disjoint Set Union 计算图的连通分量数，时间复杂度为 O(Eα(V))，其中 E 是图的边数，V 是图的节点数，α 是集合函数的反函数，通常认为 α(V) ∼ 4。

代码实现

使用 Python 语言实现 Disjoint Set Union 计算图的连通分量数：

class DisjointSetUnion:
    def __init__(self, n: int):
        self.parent = list(range(n))
        self.size = [1] * n
        self.count = n

    def find(self, x: int) -> int:
        if self.parent[x] != x:
            self.parent[x] = self.find(self.parent[x])
        return self.parent[x]

    def merge(self, x: int, y: int) -> bool:
        root_x, root_y = self.find(x), self.find(y)
        if root_x == root_y:
            return False

        if self.size[root_x] < self.size[root_y]:
            root_x, root_y = root_y, root_x

        self.parent[root_y] = root_x
        self.size[root_x] += self.size[root_y]
        self.count -= 1
        return True

def count_connected_components(n: int, edges: List[Tuple[int, int]]) -> int:
    dsu = DisjointSetUnion(n)
    for u, v in edges:
        dsu.merge(u, v)
    return dsu.count

该代码实现了一个 DisjointSetUnion 类，实现了 find 和 merge 两个方法，用于寻找节点所在的集合和将两个集合合并。最终，count_connected_components 函数接受节点数 n 和边列表 edges 作为参数，返回图的连通分量数。