O(1) 空间中给定两个节点之间的树的中序序列中的公共节点

在树结构中查找两个节点之间的第一个公共节点是一种常见的问题。通常的解决方法是找出两个节点的路径，然后找到它们的最近公共祖先。但是，这种方法需要 O(n) 的空间来存储路径，不符合 O(1) 空间的要求。

本文将介绍一种利用树的中序遍历序列的特点，找出两个节点之间的公共节点的方法。该方法只需要 O(1) 的额外空间，时间复杂度为 O(h)，其中 h 是树的高度。

中序遍历的特点

二叉树的中序遍历顺序是左子树、根节点、右子树。这个顺序有一个重要的性质：如果树是二叉搜索树，那么它的中序遍历序列是一个递增的序列。

也就是说，如果我们将树的中序遍历序列表示成一个数组，那么对于任意两个节点 i 和 j，如果 i 的值小于 j 的值，那么 i 和 j 之间的所有节点的值都大于 i 的值，小于 j 的值。

解决方案

基于中序遍历序列中节点值递增的性质，我们可以利用类似二分查找的方法来找到两个节点之间的第一个公共节点。

具体来说，假设要找的两个节点为 p 和 q，p 的值小于 q 的值（如果 p 的值大于 q 的值，那么交换两个节点即可）。对于当前节点 root，如果 root 的值大于 q 的值，那么 p 和 q 都在 root 的左子树中。否则，如果 root 的值小于 p 的值，那么 p 和 q 都在 root 的右子树中。否则（即 root 的值介于 p 和 q 之间），p 和 q 分别位于 root 的左右子树中，此时 root 就是第一个公共节点。

重复这个过程，直到找到第一个公共节点或者遍历到空节点。

时间复杂度

如果树的高度为 h，那么该算法的时间复杂度为 O(h)。这是因为每次都能将树的高度减少一半。

代码实现

下面是该算法的 Python 代码实现：

def lowest_common_ancestor(root, p, q):
    while root:
        if p.val > root.val and q.val > root.val:
            root = root.right
        elif p.val < root.val and q.val < root.val:
            root = root.left
        else:
            return root

其中，root 表示当前节点，p 和 q 分别表示要查找的两个节点。如果 p 和 q 都在 root 的左子树中，那么 root 变为 root.left；如果 p 和 q 都在 root 的右子树中，那么 root 变为 root.right；否则，找到第一个公共节点。