门 | GATE-CS-2002 | 问题 28

这是 GATE-CS-2002 的第28个问题，要求求解一个关于门的问题。

问题描述

假设存在下列类型的门：

1. NOT门，它只有一个输入端，输出端的值等于输入端的值的反向。

| 输入 | 输出 | | --- | --- | | 0 | 1 | | 1 | 0 |

2. AND门，它有两个输入端，输出端的值等于两个输入端的值相乘。

| 输入1 | 输入2 | 输出 | | ----- | ----- | --- | | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 0 | | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 |

3. OR门，它有两个输入端，输出端的值等于两个输入端的值相加。

| 输入1 | 输入2 | 输出 | | ----- | ----- | --- | | 0 | 0 | 0 | | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 |

我们需要实现一个函数 $f(x_1, x_2, x_3)$，它接收三个为 0 或 1 的输入 $x_1, x_2$ 和 $x_3$，输出 0 或 1。

函数 $f(x_1, x_2, x_3)$ 的定义如下： $f(x_1, x_2, x_3) = 1$ 如果且仅如果 $(x_1 \text{ OR } x_2) \text{ AND } (\text{NOT } x_1 \text{ OR } x_3)$。

解法

我们可以首先将 $f$ 中的两个表达式拆开：

$$ (x_1 \text{ OR } x_2) \ (\text{NOT } x_1 \text{ OR } x_3) $$

第一个表达式表示了 $x_1$ 和 $x_2$ 中有一个或两个为 1 时，结果是 1。

第二个表达式表示了 $x_1$ 中为 0 且 $x_3$ 为 1 时，结果是 1。

我们可以用以下三个门来实现 $f$：

1. OR门，用于计算 $(x_1 \text{ OR } x_2)$。
2. NOT门，用于计算 $\text{NOT } x_1$。
3. AND门，用于计算 $(\text{NOT } x_1 \text{ OR } x_3)$。

最终我们将 $OR$ 和 $AND$ 两个门的结果输出即可。

| x1 | x2 | x3 | OR门输入1 | OR门输入2 | OR门输出 | NOT门输入 | NOT门输出 | AND门输入1 | AND门输入2 | AND门输出 | f(x1, x2, x3) |
| -- | -- | -- | --------- | --------- | --------- | ---------- | --------- | ---------- | ---------- | --------- | -----------|
|  0 |  0 |  0 |     0     |     0     |     0     |      1     |     0     |      0     |      1     |     0     |      0      |
|  0 |  0 |  1 |     0     |     1     |     1     |      1     |     0     |      1     |      1     |     1     |      1      |
|  0 |  1 |  0 |     1     |     1     |     1     |      1     |     0     |      0     |      0     |     0     |      0      |
|  0 |  1 |  1 |     1     |     1     |     1     |      1     |     0     |      1     |      1     |     1     |      1      |
|  1 |  0 |  0 |     1     |     1     |     1     |      0     |     1     |      1     |      0     |     0     |      0      |
|  1 |  0 |  1 |     1     |     1     |     1     |      0     |     1     |      1     |      1     |     1     |      1      |
|  1 |  1 |  0 |     1     |     1     |     1     |      0     |     1     |      0     |      0     |     0     |      0      |
|  1 |  1 |  1 |     1     |     1     |     1     |      0     |     1     |      1     |      1     |     1     |      1      |

因此，我们可以得到以下代码：

def f(x1: int, x2: int, x3: int) -> int:
    # 先计算 OR
    or_input1 = x1
    or_input2 = x2
    or_output = or_gate(or_input1, or_input2)

    # 再计算 NOT
    not_input = x1
    not_output = not_gate(not_input)

    # 最后计算 AND
    and_input1 = not_output
    and_input2 = x3
    and_output = and_gate(and_input1, and_input2)

    # 输出结果
    return or_output * and_output

其中，or_gate, not_gate 和 and_gate 分别代表了不同的门函数，它们返回输入的结果。

总结

本题是一道经典的逻辑电路问题，它考察了我们对于门和布尔运算的理解，以及如何将它们组合起来实现一个给定的布尔表达式。完成这道题目，可以帮助我们进一步学习计算机组成原理以及数字逻辑电路的相关知识。