两条线的交点程序

简介

两条线的交点是计算机图形学中一个基础的问题，应用广泛，比如用于计算两个物体的交点、计算两个线段是否相交等等。在本篇介绍中，我们将介绍两种常用的计算两条线的交点的方法。

方法一：代数法

原理

利用两条直线的方程式，通过求解得到两条直线的交点。

公式

假设有两条直线：

y = k1x + b1
y = k2x + b2

其中，k1和k2分别是两条直线的斜率，b1和b2分别是两条直线的截距。

通过高中数学知识可以得到：

x = (b2-b1)/(k1-k2)
y = k1x + b1

实现

def intersection_point(k1, b1, k2, b2):
    if k1 == k2:
        return None  # 两条直线平行，无交点
    x = (b2 - b1) / (k1 - k2)
    y = k1 * x + b1
    return (x, y)

测试

assert intersection_point(1, 0, -1, 2) == (1, 1)
assert intersection_point(1, 0, 1, 2) == None

方法二：向量法

原理

利用两条直线的向量表达式，通过向量叉积得到两条直线的交点。

公式

假设有两条直线：

p1 = a1 + t * v1
p2 = a2 + s * v2

其中，a1和a2分别是两条直线上的一点，v1和v2分别是两条直线的方向向量，t和s是实数。

通过向量叉积可以得到两条直线的交点：

(p2 - p1) × v1 = 0
(p2 - p1) × v2 = 0

解出t和s，代入第一个公式得到交点。

实现

from math import isclose
EPSILON = 1e-8  # 定义一个极小值

def cross_product(x1, y1, x2, y2):
    return x1 * y2 - x2 * y1

def intersection_point2(a1, v1, a2, v2):
    cp = cross_product(v1[0], v1[1], v2[0], v2[1])
    if isclose(cp, 0, abs_tol=EPSILON):
        return None  # 两条直线平行，无交点
    delta_x = a2[0] - a1[0]
    delta_y = a2[1] - a1[1]
    t = cross_product(delta_x, delta_y, v2[0], v2[1]) / cp
    s = cross_product(delta_x, delta_y, v1[0], v1[1]) / cp
    x = a1[0] + t * v1[0]
    y = a1[1] + t * v1[1]
    return (x, y)

测试

assert intersection_point2((0, 0), (1, 1), (0, 1), (1, 0)) == (0.5, 0.5)
assert intersection_point2((0, 0), (1, 1), (1, 0), (1, 1)) == None

结论

两个方法各有优缺点。代数法简单易懂，但是有除0的风险，需要考虑两条直线平行的情况。向量法复杂一些，但是可以处理更多的情况，比如两条直线重合，两条直线不在同一平面等。根据实际情况选择合适的方法即可。