3D空间中两条线之间的角度

3D空间中的直线通常以笛卡尔形式和矢量形式两种形式表示。因此，还根据直线的两种形式来定义3D空间中任意两条直线之间的角度。让我们讨论一种寻找两种形式的两条直线之间的角度的方法。

笛卡尔形式

L ₁ ：(x – x ₁ )/ a ₁ =(y – y ₁ )/ b ₁ =(z – z ₁ )/ c ₁

L ₂ ：(x – x ₂ )/ a ₂ =(y – y ₂ )/ b ₂ =(z – z ₂ )/ c ₂

在这里， L ₁和L ₂表示在笛卡尔形式的3D空间中分别通过点(x ₁ ，y ₁ ，z ₁ )和(x ₂ ，y ₂ ，z ₂ )的两条直线。

• _{线L 1的}方向比为a ₁ ，b ₁ ，c _1，则平行于L ₁的向量为${\vec {m}}$ ₁ = a ₁ i + b ₁ j + c ₁ k
• 线L _2的方向比是a ₂ ，b ₂ ，c _2，则平行于L ₂的矢量是${\vec {m}}$ ₂ = a ₂ i + b ₂ j + c ₂ k

则L ₁和L ₂之间的角度∅由下式给出：

∅ = cos^-1{(${\vec {m}}$₁ . ${\vec {m}}$₂) / (|${\vec {m}}$₁| × |${\vec {m}}$₂|)}

例子

示例1：(x – 1)/ 1 =(2y + 3)/ 3 =(z + 5)/ 2和(x – 2)/ 3 =(y + 1)/ -2 =(z – 2)/ 0是3D空间中的两条线，则它们之间的夹角by为：

解决方案：

${\vec {m}}$₁ = 1 i + (3 / 2)  j + 2 k

${\vec {m}}$₂ = 3 i – 2 j + 0 k

|${\vec {m}}$₁| = √(1² + (3/2)² + 2²) = √(29 / 2)

|${\vec {m}}$₂| = √(3² + 2² + 0²) = √(13)

∅  = cos^-1{(1×3 + (3/2)×(-2) + (2)×0 ) / ((√(29) / 2) × √(13))}

∅  = cos^-1{0 / ((√(29) / 2) × √(13))}

∅  = cos^-1(0)

∅  = π / 2

示例2：在3D空间中找到两条直线之间的夹角，它们的唯一方向比率分别为2、1、2和2、3、1。在此问题中，没有给出两条直线的方程式，仅给出了它们的DR。因此，两条线之间的夹角∅由下式给出：

解决方案：

${\vec {m}}$₁ = Vector parallel to the line having DRs 2, 1, 2 = (2 i + j + 2 k)

|${\vec {m}}$₁| = √(2² + 1² + 2²) = √9 = 3

${\vec {m}}$₂ = Vector parallel to the line having DRs 2, 3, 1 = (2 i + 3 j + k)

|${\vec {m}}$₂| = √(2² + 3² + 1²) = √(14)

∅  = cos^-1{(2×2 + 1×3 + 2×1) / (3 × √(14))}

∅  = cos^-1{(4 + 3 + 2) / (3 × √(14))}

∅  = cos^-1{9 / (3 × √(14))}

∅  = cos^-1(3 / √(14))

示例3： (x – 1)/ 2 =(y – 2)/ 1 =(z – 3)/ 2和(x – 2)/ 2 =(y – 1)/ 2 =(z – 3)/ 1是3D空间中的两条线，则它们之间的夹角by为：

解决方案：

${\vec {m}}$₁ = 2 i + j + 2 k

|${\vec {m}}$₁| = √(2² + 1² + 2²) = √9 = 3

${\vec {m}}$₂ = 2 i + 2 j + k

|${\vec {m}}$₂| = √(2² + 2² + 1²) = √9 = 3

∅  = cos^-1{(2×2 + 1×2 + 2×1 ) / (3 × 3)}

∅  = cos^-1{(4 + 2 + 2) / 9}

∅  = cos^-1(8 / 9)

矢量形式

L ₁ ： ${\vec {r}}$ = ${\vec {a}}$ ₁ +吨${\vec {b}}$ _1个

L ₂ ： ${\vec {r}}$ = ${\vec {a}}$ ₂ + u。 ${\vec {b}}$ _2个

这里L ₁和L ₂代表两条直线通过的点的位置矢量为 ${\vec {a}}$ ₁和${\vec {a}}$在矢量形式的3D空间中分别为_2。 ${\vec {b}}$ ₁ ＆  ${\vec {b}}$ ₂是分别平行于L ₁和L ₂的两个向量， t ＆ u是参数。然后向量之间的角度∅ ${\vec {b}}$ ₁和${\vec {b}}$ _{2等于L 1}和L ₂之间的夹角由下式给出：

∅ = cos^-1{(${\vec {b}}$₁ . ${\vec {b}}$₂) / (|${\vec {b}}$₁| × |${\vec {b}}$₂|)}

例子

范例1： ${\vec {r}}$ =(i + j + k)+ t×{(-√3– 1)i +(√3-1– 1)j + 4 k}和${\vec {r}}$ =(i + j + k)+ u×(i + j + 2 k)是3D空间中的两条线，则它们之间的夹角为：

解决方案：

${\vec {b}}$₁ = (-√3 – 1) i + (√3 – 1) j + 4 k

|${\vec {b}}$₁| = √{(-√3 – 1)² + (√3 – 1)² + 4²)} = √(24)

${\vec {b}}$₂ = i +  j + 2 k

|${\vec {b}}$₂| = √(1² + 1² + 2²) = √6

∅  = cos^-1{(-√3 – 1)×1 + (√3 – 1)×1 + 4×2 ) / (√(24) × √6)}

∅  = cos^-1{6 / (√(24) × √6)}

∅  = cos^-1(½)

∅  = π / 3

示例2： (i + 2 j + 2 k)和(3 i + 2 j + 6 k)是平行于3D空间中两条线的两个向量，则它们之间的夹角∅由下式给出：

解决方案：

${\vec {b}}$₁ = i + 2 j + 2 k

|${\vec {b}}$₁| = √(1² + 2² + 2²)} = √9 = 3

${\vec {b}}$₂ = 3 i + 2 j + 6 k

|${\vec {b}}$₂| = √(3² + 2² + 6²) = √(49) = 7

∅  = cos^-1{(1×3 + 2×2 + 2×6) / (7 × 3)}

∅  = cos^-1{(3 + 4 + 12) / 21}

∅  = cos^-1(19 / 21)

范例3： ${\vec {r}}$ =(3 i + 5 j + 7 k)+ s×{((i + 2 j – 2 k})和${\vec {r}}$ =(4 i + 3 j + k)+ t×(2 i + 4 j – 4 k)是3D空间中的两条线，则它们之间的夹角为：

解决方案：

${\vec {b}}$₁ = i + 2 j – 2 k

|${\vec {b}}$₁| = √(1² + 2² + (-2)²)} = √9 = 3

${\vec {b}}$₂ = 2 i + 4 j – 4 k

|${\vec {b}}$₂| = √(2² + 4² + (-4)²) = √(36) = 6

∅  = cos^-1{(1×2 + 2×4 + (-2)×(-4)) / (3 × 6)}

∅  = cos^-1{(2 + 8 + 8) / 18}

∅  = cos^-1(18 / 18)

∅  = cos^-1(1) = 0