门| GATE CS 2020 |问题13

这是2020年的GATE CS考试中的问题13，是一个与最小生成树相关的问题。

题目描述：

给定一个无向图 $G(V,E)$ 和两个整数 $u$ 和 $v$，其中 $u \neq v$，图中每个边都有一个非负整数权值。给定两个权重阈值 $t_{u}$ 和 $t_{v}$，求从 $u$ 到 $v$ 的所有简单路径中，边权值最小的那条路径的权重是否小于 $t_{u}$ 和 $t_{v}$。如果路径不存在，则输出“NOT POSSIBLE”。

这个问题可以用 Kruskal 算法来解决。具体来说，我们将图中边按照权重从小到大排序，然后从小到大考虑每条边 $(u, v, w)$（其中 $w$ 为边的权重）。如果在算法的执行过程中，已经找到了从 $u$ 到 $v$ 的一条路径，那么这个路径的权重必定是较小的，因此可以终止算法。如果排序后第一条边的权重都不小于 $t_{u}$ 和 $t_{v}$，那么显然不存在从 $u$ 到 $v$ 的路径。否则，我们可以使用并查集来维护这些边所连接的节点之间的连通性，并在搜索到从 $u$ 到 $v$ 的路径时及时退出。整个算法的时间复杂度为 $O(E \log E)$，其中 $E$ 表示边数。

下面是使用 Python 代码实现 Kruskal 算法求解该问题的示例：

from typing import List, Tuple

def find(parent: List[int], x: int) -> int:
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find(parent, parent[x])
    return parent[x]

def union(parent: List[int], size: List[int], x: int, y: int) -> None:
    px, py = find(parent, x), find(parent, y)
    if px == py:
        return
    if size[px] < size[py]:
        px, py = py, px
    parent[py] = px
    size[px] += size[py]

def kruskal(edges: List[Tuple[int, int, int]], u: int, v: int, tu: int, tv: int) -> str:
    n = len(edges)
    parent = list(range(n))
    size = [1] * n
    tu_found, tv_found = False, False
    
    for w, x, y in edges:
        if find(parent, u) == find(parent, v):
            break
        if not tu_found and w >= tu:
            continue
        if not tv_found and w >= tv:
            continue
        if find(parent, x) != find(parent, y):
            union(parent, size, x, y)
            if find(parent, u) == find(parent, v):
                return 'YES'
            if find(parent, u) == find(parent, x) or find(parent, u) == find(parent, y):
                tu_found = True
            if find(parent, v) == find(parent, x) or find(parent, v) == find(parent, y):
                tv_found = True
    return 'NOT POSSIBLE'

其中 find 和 union 函数分别实现了并查集的查找和合并操作，kruskal 函数使用 Kruskal 算法对边进行排序并进行处理，返回是否存在 $u$ 到 $v$ 的路径权重小于 $t_{u}$ 和 $t_{v}$。